Question

開普勒在1609-1619年發表了著名的開普勒行星三定律，其中第三定律的內容：所有行星在橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的平方的比值都相等．實踐證明．開普勒三定律也適用于人造地球衛星．2005年10月17日，“神舟”六號飛船在繞地球飛行5天后順利返回．“神舟”六號飛船在圓軌道正常運行時，其圓軌道半徑為r，返回過程可簡化為：圓軌道上飛船，在適當位置開動制動發動機一小段時間（計算時可當作一瞬時），使飛船速度減小，并由圓軌道轉移到與地面相切的橢圓軌道上，如圖所示，橢圓軌道與地面的切點即為設在內蒙的飛船主著陸場，設地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，圓軌道為橢圓軌道的一種特殊情況，空氣阻力不計．問：
（1）制動發動機是采用噴射加速后的質子流來制動，那么發動機應向什么方向噴射質子流？
（2）飛船在圓軌道運行的周期．
（3）制動之后，飛船經過多長時間到達地面的主著陸場．

Answer 1

分析：（1）要制動就必須向運動的反方向噴射質子流
（2）由萬有引力提供向心力的周期表達式，可以得到周期
（3）由題可知橢圓軌道的半個周期即為制動后的著陸時間，由開普勒定律可得橢圓軌道的周期，進而聯合第2問得到的周期，解得結果

解答：解：
（1）制動就是要噴射與運動方向相反的物質，故噴出的質子流應與運動方向相反
（2）由地面萬有引力等于重力：mg=

GMm

R2

得GM=gR²
由萬有引力充當向心力：

GMm

r2

=mr

4π2

T2

得：T=

4π2r3 GM

=

4π2r3 gR2

=

2πr

R

r g

①
（3）設橢圓軌道的周期為T′，
由開普勒三定律得：

r3

T2

=

( R+r 2 )2

T′2

可得：T′=

R+r

2r

R+r 2r

T②
將（2）式中的①帶入上式可得：
T′=

π(R+r)

R

R+r 2g

飛船到達地面的時間為橢圓周期的一半：t=

T′

2

=

π(R+r)

2R

R+r 2g

答：
（1）制動發動機是采用噴射加速后的質子流來制動，那么發動機應向運動反方向噴質子流
（2）飛船在圓軌道運行的周期T=

2πr

R

r g

（3）制動之后，飛船經過多長時間到達地面的主著陸場t=

π(R+r)

2R

R+r 2g

．

點評：本題重點是在著陸時間的確定上，由題目的描述，可知應是橢圓軌道的半個周期，而要注意關于橢圓我們能用的公式只有開普勒定律．