Question

如圖所示，在 xOy 平面的第一、四象限內(nèi)存在著方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場，在第四象限內(nèi)存在方向沿-y 方向、電場強(qiáng)度為 E  的勻強(qiáng)電場．從 y 軸上坐標(biāo)為（0，a）的 P 點(diǎn)向磁場區(qū)發(fā)射速度大小不等的帶正電同種粒子，速度方向范圍是與+y 方向成30°-150°角，且在 xOy 平面內(nèi)．結(jié)果所有粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后都垂直打到 x 軸上，然后進(jìn)入第四象限內(nèi)的正交電磁場區(qū)．已知帶電粒子電量為+q，質(zhì)量為 m，粒子重力不計．
（1）所有通過第一象限磁場區(qū)的粒子中，求粒子經(jīng)歷的最短時間與最長時間的比值；
（2）求粒子打到 x 軸上的范圍；
（3）從 x 軸上 x=a 點(diǎn)射入第四象限的粒子穿過正交電磁場后從 y 軸上 y=-b 的 Q 點(diǎn)射出電磁場，求該粒子射出電磁場時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）、先找出兩個邊界上的粒子，分析在第一象限內(nèi)的運(yùn)動情況，可知與y軸正方向成30°的粒子運(yùn)動時間最長，與y軸正方向成150°的粒子運(yùn)動時間最短．利用帶電粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場中做圓周時的時間確定方法可求出最長時間和最短時間，從而可求出時間比．
（2）、利用帶電粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動時確定圓心和半徑的方法，分別求出兩種粒子經(jīng)過x軸時距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而可表示出粒子打到 x 軸上的范圍．
（3）、因粒子是垂直x軸射入第四象限的，所以也是垂直于y軸射入第一象限的，由此可判斷在第一象限內(nèi)運(yùn)動的半徑為a，從而可求出射入第一象限時的速度，在第四象限內(nèi)運(yùn)動時，電場力做正功，使電勢能轉(zhuǎn)化為動能，洛倫茲力不做功，由動能定理即可求出經(jīng)y軸的負(fù)方向射出第四象限時的速度．

解答：解：
（1）、各種離子在第一象限內(nèi)運(yùn)動時，與y軸正方向成30°的粒子運(yùn)動時間最長，時間為：
tmax=

5 6 π

2π

T=

5

12

T…①
與y軸正方向成150°的粒子運(yùn)動時間最短，時間為：
tmin=

π 6

2π

T=

T

12

…②
①②兩式聯(lián)立得：

tmin

tmax

=

1

5

（2）、設(shè)帶電粒子射入方向與y軸夾角成150°時的軌道半徑為R₁，由幾何關(guān)系有：
R1=

a

sin30°

= 2a
帶電粒子經(jīng)過的最左邊為：x1=R1(1-cos30°)=(2-

3

)a
設(shè)帶電粒子射入方向與y軸夾角30°時的軌道半徑為R₂，由幾何關(guān)系有：
R2=

a

sin30°

= 2a
帶電粒子經(jīng)過的最右邊為：
x2=R2(1+cos30°)=(2+

3

)a
所以粒子打到 x 軸上的范圍范圍是：
(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a
（3）帶電粒子在第一象限的磁場中有：
qv0B=m

v 2 0

R

由題意知：R=a
帶電粒子在第四象限中運(yùn)動過程中，電場力做功轉(zhuǎn)化為帶電粒子的動能，設(shè)經(jīng)過Q點(diǎn)是的速度為v，由動能定理由：
qEb=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：v=

q2B2a2 m2 + 2qEb m

答：（1）所有通過第一象限磁場區(qū)的粒子中，求粒子經(jīng)歷的最短時間與最長時間的比值為

1

5

．
（2）求粒子打到 x 軸上的范圍為(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a．
（3）該粒子射出電磁場時的速度大小為

q2B2a2 m2 + 2qEb m

．

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是確定帶電粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時間，具體確定方法為：
①、圓心的確定：因為洛倫茲力提供向心力，所以洛倫茲力總是垂直于速度的方向，畫出帶電粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場和射出磁場的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長線的交點(diǎn)即為圓心．
②、半徑的確定：半徑一般都是在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何的知識求解，常常用到解三角形，尤其是直角三角形．
③、運(yùn)動時間的確定：利用圓心角與弦切角的關(guān)系或者四邊形的內(nèi)角和等于360°計算出粒子所經(jīng)過的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360°

T可求出運(yùn)動時間．
還有就是要明確洛倫茲力對運(yùn)動電荷不做功，電場力對電荷做功的過程是電勢能與動能間的互化過程．