Question

如圖所示,一傾角為θ=45°的斜面固定于地面,斜面頂端離地面的高度h₀=1 m,斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板,在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m=0.09 kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）.小物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2.當(dāng)小物塊與擋板碰撞后,將以原速返回.重力加速度g取10 m/s².在小物塊與擋板的前4次碰撞過(guò)程中,擋板給予小物塊的總沖量是多少？

Answer 1

答案   0.4(3+) N·s

解析   解法一：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng),到達(dá)斜面底端時(shí)速度為v,由功能關(guān)系得：mgh=mv2+μmgcosθ                   ①

以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向.按動(dòng)量定理,碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量為:

I=mv-m(-v)                              ②

設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為h′,則

mv2=mgh′+μmgcosθ               ③

同理,有mgh′=mv′2+μmgcosθ        ④

I′=mv′-m(-v′)                            ⑤

式中,v′為小物塊再次到達(dá)斜面底端時(shí)的速度,I′為再次碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量.

由①②③④⑤式得I′=kI                  ⑥

式中k=                           ⑦

由此可知,小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù),首項(xiàng)為

I1=2m                 ⑧

總沖量為

I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)                 ⑨

由1+k+k2+…+kn-1=                    ⑩

得I=        

代入數(shù)據(jù)得I=0.4(3+) N·s               

解法二：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng),小物塊受到重力，斜面對(duì)它的摩擦力和支持力，小物塊向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a,依牛頓第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma           ①

設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v,則：

v2=2a                                                                  ②

以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向.按動(dòng)量定理,碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量為

I=mv-m(-v)                                                              ③

由①②③式得

I=2m                                                       ④

設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a′,依牛頓第二定律有：

mgsinθ+μmgcosθ=ma′                                                  ⑤

小物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大高度為

h′=sinθ                                                               ⑥

由②⑤⑥式得

h′=k2h                                                                 ⑦

式中k =                                                          ⑧

同理,小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量為：

I′=2m                                                 ⑨

由 ④⑦⑨式得I′=kI                                                     ⑩

由此可知,小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù),首項(xiàng)為

I1=2m                                                 

總沖量為

I=I1+I2+I3+I4=I1（1+k+k2+k3）              

由1+k+k2+…+kn-1=                 

得I=2m              

代入數(shù)據(jù)得I=0.4(3+) N·s