Question

如圖所示，一輛質量為M的小車靜止在水平面上，車面上右端點有一可視為質點的滑塊1，水平面上有與車右端相距為4R的固定的1/4光滑圓弧軌道，其圓周半徑為R，圓周E處的切線是豎直的，車上表面與地面平行且與圓弧軌道的末端D等高，在圓弧軌道的最低點D處，有另一個可視為質點的滑塊2，兩滑塊質量均為m。某人由靜止開始推車，當車與圓弧軌道的豎直壁CD碰撞后人即撤去推力并離開小車，車碰后靠著豎直壁靜止但不粘連，滑塊1和滑塊2則發生碰撞，碰后兩滑塊牢牢粘在一起不再分離。車與地面的摩擦不計，滑塊1、2與車面的摩擦系數均為，重力加速度為，滑塊與車面的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力。

（1）若人推車的力是水平方向且大小為，則在人推車的過程中，滑塊1與車是否會發生相對運動?

（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度多大?

（3）若車面的長度為，小車質量，則的取值在什么范圍內，兩個滑塊最終沒有滑離車面?

Answer 1

解：（1）設滑塊1與車不發生相對滑動，它們的加速度大小為，由牛頓第二定律有

　　　　　　 　　　　①　 （2分）

　 此時滑塊受到的靜摩擦力大小為　 ②　 （1分）

　　　　　 而　　　　　　　　　 ③

　　　　　 由①②③解得　　　　　　　 ④　 （1分）

　　 又滑塊1與車面的最大靜摩擦力為　 ⑤　 （1分）

　　 顯然，說明滑塊1與車面之間沒有發生相對滑動 （1分）

（2）設滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度為，根據動能定理有

　　　　　 　　　　　　　　　　　⑥　 （2分）

　　 聯立③⑥求得　　　　　　　　　 ⑦　 (1分)

設滑塊1和2發生碰撞后的共同速度為，由動量守恒定律有

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　 （2分）

　　　　　　 聯立⑦⑧求得　　　　　　　　　 ⑨　 (1分)

（3） 兩滑塊粘合在一起后以的速度沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運動，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個過程中兩滑塊的機械能守恒，兩滑塊最終以速度沖上車面。

設兩滑塊滑到車的左端時，若滑塊剛好不滑出車面，滑塊和車應有共同的速度設為，由系統的動量守恒有　　　　　 　　⑩　 （2分）

由系統的動能守恒有　 ?（2分）

聯立⑨⑩?解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?(1分)

所以當時，兩個滑塊最終沒有滑離小車　　　 (1分)