Question

15．如圖所示，空間存在著方向豎直向下、場強大小為E的勻強電場和方向水平向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場．兩個帶電小球1和2均在垂直于磁場方向的同一豎直平面內做勻速圓周運動，運動軌跡如圖所示．已知兩球的質量關系為m₁=3m₂，軌跡半徑關系為R₁=3R₂=18cm．不考慮兩球間的靜電力和空氣阻力．
（1）指出小球1的帶電性質和繞行方向；
（2）求兩球所帶電荷量q₁和q₂的定量關系；
（3）設兩球在圖中的P點發生碰撞，且碰撞后小球2能在小球1原先的軌跡上運動，求碰撞后小球1運動的軌跡半徑．（假設碰撞時兩球間的電荷不發生轉移）

Answer 1

分析 （1）因為兩個小球均在豎直平面內做勻速圓周運動，則所受的指向圓心方向的合力只有由洛侖茲力提供，那么豎直方向的重力與電場力平衡，小于電場力向上，所以兩小球均帶負電．再由左手定則反過來由洛侖茲力確定速度方向，只能是逆時針方向運動．
（2）由洛侖茲力提供向心力：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可以得到小球做勻速圓周運動的半徑 $R=\frac{mv}{qB}$，所以由半徑、速度關系求得電量關系．
（3）由動量守恒定律求出小球1碰撞后的速度與碰前小球1或2的速度關系，從而得到小球1的半徑．

解答 解：（1）由題意，小球1在豎直平面內做勻速圓周運動，豎直方向的重力與電場力平衡，電場力向上，所以小球1帶負電．再由左手定則，洛侖茲力指向圓心，所以小球1應該做逆時針方向圓周運動．
（2）豎直方向上有，對兩球均有：m₁g=Eq₁，m₂g=Eq₂    
   而m₁=3m₂
  所以有：q₁=3q₂
（3）由洛侖茲力提供向心力：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可以得到小球做勻速圓周運動的半徑 $R=\frac{mv}{qB}$
   由以上質量和速度的關系可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{3}{1}$，即v₁=3v₂
   由題意碰撞后：R₂′=R₁，即$\frac{{m}_{2}{v}_{2}′}{{q}_{2}B}=\frac{{m}_{1}{v}_{1}}{{q}_{1}B}$  
   聯立聯立得：v₂′=v₁=3v₂
   碰撞前后動量守恒：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′
   將已知關系代入上式得：${v}_{1}′=\frac{8}{3}{v}_{2}$${R}_{1}′=\frac{{m}_{1}{v}_{1}′}{{q}_{1}B}=\frac{3{m}_{2}×\frac{8}{3}{v}_{2}}{3{q}_{2}B}=\frac{8}{3}{R}_{2}$=0.16m
答：（1）小球1帶負電做逆時針繞行．
（2）兩球所帶電荷量q₁和q₂的定量關系是：q₁=3q₂．
（3）設兩球在圖中的P點發生碰撞，且碰撞后小球2能在小球1原先的軌跡上運動，碰撞后小球1運動的軌跡半徑是0.16m．

點評 由于題目已知質量、半徑關系，從而求出電量關系，至于第三問的碰撞問題由動量守恒定律求出碰后小球1與碰前小球的速度關系，再由半徑公式求出小球1的半徑．該題涉及洛侖茲力產生加速度、動量守恒定律等內容，用比值方法容易求得．