Question

如圖所示，相互平行的豎直分界面MN、PQ，相距L，將空間分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區．Ⅰ、Ⅲ區有水平方向的勻強磁場，Ⅰ區的磁感應強度未知，Ⅲ區的磁感應強度為B；Ⅱ區有豎直方向的勻強電場（圖中未畫出）．一個質量為m、電荷量為e的電子，自MN上的O點以初速度v₀水平射入Ⅱ區，此時Ⅱ區的電場方向豎直向下，以后每當電子剛從Ⅲ區進入Ⅱ區或從Ⅰ區進入Ⅱ區時，電場突然反向，場強大小不變，這個電子總是經過O點且水平進入Ⅱ區．（不計電子重力）
（1）畫出電子運動的軌跡圖；
（2）求電子經過界面PQ上兩點間的距離；
（3）若Ⅱ區的電場強度大小恒為E，求Ⅰ區的磁感應強度．

Answer 1

分析：（1）電子進入區域Ⅱ后首先做類平拋運動，運動軌跡是一段拋物線；電子進入區域Ⅲ后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，軌跡是一段圓弧；再次進入區域Ⅱ后，電子做斜上拋運動，運動軌跡是一段拋物線（和剛進入區域Ⅱ的拋物線是對稱的）；電子垂直進入區域Ⅰ后，電子做勻速圓周運動，軌跡是一個半圓．
（2）電子在區域Ⅲ中做勻速圓周運動，首先求出運動半徑，再由幾何關系可求出兩點間的距離．
（3）結合第一問和第二問求出電子經過邊界MN上的兩點間的距離，此為電子在區域Ⅰ中做圓周運動的直徑，由洛倫茲力提供向心力公式可求出區域Ⅰ的磁場強度．

解答：解：
（1）電子運動的軌跡如圖所示．
（2）電子在Ⅱ區Oa段做類平拋運動，
在a點的速度v₁與PQ成θ角，v₁sinθ=v₀…①
電子在Ⅲ區ab段做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有：
ev1B=

m v 2 1

R1

…②
由幾何知識有：

.

ab

=2R1sinθ…③
①②③聯立解得：

.

ab

=

2mv0

eB

…④
（3）電子在Ⅱ區Oa段運動的豎直位移：
y1=

1

2

at2=

eE

2m

?(

L

v0

)2=

eEL2

2m v 2 0

…⑤
電子在bc段做類斜上拋運動，加速度與Oa段等值反向，由運動的對稱性得
電子運動的豎直位移：
y2=y1=

eEL2

2m v 2 0

…⑥
同樣有對稱可得電子在c處的速度為：
v_c=v₀，方向水平向左…⑦
所以，電子在Ⅰ區CO段做勻速圓周運動的半徑為：
R′=

1

2

(y1+y2+

.

ab

)…⑧
由牛頓運動定律有：
ev0B=

m v 2 0

R′

…⑨
解得：
B′=

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 2 0

（或

2m2 v 3 0 B

2m2 v 3 0 +e2L2BE

）
答：（1）電子運動的軌跡圖如圖所示．
（2）電子經過界面PQ上兩點間的距離為

2mv0

eB

．
（3）若Ⅱ區的電場強度大小恒為E，Ⅰ區的磁感應強度為

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 2 0

．

點評：該題考察了電子在電場中的偏轉和在磁場中的勻速圓周運動，此題要求首先要分析電子在各個區域內的運動情況，畫出電子的運動軌跡圖，了解圖中的幾何關系．利用電子在電場中偏轉時的速度的合成與分解，解決電子在電場中運動的相關問題；利用電子在勻速圓周運動的半徑和周期公式，結合洛倫茲力提供向心力可解答電子在磁場中運動的相關問題．
電子從磁場邊界以一定的角度射入只有一個邊界的勻強磁場，當再次射出磁場時，速度與邊界的夾角與原來的相等．解題時充分利用這個結論，對解題有非常大的幫助．