Question

（2007?連云港三模）如圖所示，在同一豎直平面內的兩正對著的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在其間運動，今在最高點與最低點各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來，當軌道距離變化時，測得兩點壓力差與距離x的圖象如圖，g取10m/s²，不計空氣阻力，求：
（1）小球的質量為多少？
（2）若小球的最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒及分別對A點和B點由向心力公式可求得壓力差與距離x的關系式，則可由圖象的截距求得物體的質量；
（2）由圖象的斜率可求得光滑圓軌道的半徑，由機械能守恒定律及豎直面內的圓周運動臨界值可求得x的最大值．

解答：解：（1）設軌道半徑為R，由機械能守恒定律：

1

2

mvB2=mg(2R+x)+

1

2

mvA2   ①
對B點有：FN1-mg=m

vB2

R

    ②
對A點有：FN2+mg=m

vA2

R

    ③
由①②③式得：兩點的壓力差：△F_N=F_N1-F_N2=6mg+

2mgx

R

  ④
由圖象得：截距  6mg=6，得m=0.1kg
物體的質量為0.1kg；
（2）由④式可知：因為圖線的斜率k=

2mg

R

=1
所以R=2m   ⑤
在A點不脫離的條件為：v_A≥

gR

 ⑥
由①⑤⑥三式和題中所給已知條件解得：x=15m
x的最大值為15m．
答：（1）小球的質量m是0.1kg；
（2）若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x最大值為15m．

點評：本題考查機械能守恒的應用及豎直面內的圓周運動的臨界值的應用，此類題型為常見題型，應熟練掌握．