Question

7．如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R=90m的大圓弧和r=40m的小圓弧，直道與彎道相切．大、小圓弧圓心O'、O距離L=100m．賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍，假設賽車在直道上做勻變速直線運動，在彎道上做勻速圓周運動，要使賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短．（發動機功率足夠大，重力加速度g=10m/s²，π=3.14）．
求：（1）在兩個彎道上的最大速度分別是多少？
（2）應從什么位置開始加速，加速度是多大？
（3）完成一圈的最短時間是多少？

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律，結合最大靜摩擦力提供向心力求出在兩個彎道上的最大速度．
（2）賽車在繞過小彎道后加速，根據幾何關系求出直道的距離，結合速度位移公式求出加速度．
（3）根據幾何關系求出小圓弧和大圓弧的長度，結合運動學公式求出在圓弧上的運動時間以及在直線上的運動時間，從而得出完成一圈的最短時間．

解答 解：（1）在彎道上做勻速圓周運動時，根據牛頓定律有：kmg=$m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$，
在小彎道上的最大速度為：${v}_{m}=\sqrt{kgr}=\sqrt{2.25×10×40}$m/s=30m/s，
在大圓弧彎道上的速率為：${v}_{mR}=\sqrt{kgR}$=$\sqrt{2.25×10×90}m/s=45m/s$．
（2）當彎道半徑一定 時，在彎道上的最大速度是一定的，且在大彎道上的最大速度大于小彎道上的最大速度，故要想時間最短，故可在繞過小圓弧彎道后加速，直道的長度為：$x=\sqrt{{L}^{2}-（R-r）^{2}}=50\sqrt{3}m$，
故在在直道上的加速度大小為為：$a=\frac{{{v}_{mR}}^{2}-{{v}_{m}}^{2}}{2x}=\frac{4{5}^{2}-3{0}^{2}}{2×50\sqrt{3}}m/{s}^{2}$≈6.50m/s²，
（3）由幾何關系可知，小圓弧軌道的長度為$\frac{2πr}{3}$，
通過小圓弧彎道的時間為：t₁=$\frac{\frac{2πr}{3}}{{v}_{m}}$=$\frac{2×3.14×40}{3×30}s≈2.80s$，
通過大圓弧時間為：${t}_{2}=\frac{\frac{4πR}{3}}{{v}_{mR}}$，代入數據解得t₂=8.37s，
直線運動時間為t₃則有：X=$\frac{{v}_{m}+{v}_{mR}}{2}{t}_{3}$，
代入數據解得：t₃=2.31s，
總時間為：t=t₁+t₂+2t₃=2.80+8.37+2×2.31s=15.79s．
答：（1）在兩個彎道上的最大速度分別是30m/s、45m/s；
（2）繞過小彎道后加速，加速度是6.50m/s²；
（3）完成一圈的最短時間是15.79s．

點評 解答此題的關鍵是由題目獲得條件：①在彎道上由最大靜摩擦力提供向心力②由數學知識求得圓弧的長度，另外還要熟練掌握勻速圓周運動的知識．