Question

5．平行光滑的金屬導軌置于水平面上，豎直向下的勻強磁場穿過導軌平面．導軌一端接一平行且光滑的弧形導軌，處于磁場外．導線a、b可在導軌上自由滑動，開始時，b靜止在水平導軌上，a從弧形導軌上h高處由靜止自由滑下，如圖所示．已知磁感應強度為B，導線a的質量m_a=2m_b．求：
（1）當a進入磁場瞬間，兩導線加速度大小之比；
（2）如a與b始終不相碰，a、b最終的速度多大？
（3）整個過程中電流做功產生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）根據安培力公式F=BIL和牛頓第二定律，即可求解兩棒的加速度之比；
（2）a進入磁場后切割磁感線產生感應電流，b在安培力作用下做加速運動，a做減速運動，回路中總的感應電動勢減小，感應電流減小，當兩者速度相等時，感應電流為零，兩棒不再受安培力而做勻速運動．先根據機械能守恒定律求得a棒剛進入磁場瞬間的速度，再結合動量守恒定律，即可求解各自的最終速度；
（3）由通量守恒定律，即可求解整個電路產生的熱量．

解答 解：（1）由F=BIL 知：a，b棒受到的安培力大小均相等，由牛頓運動定律F=ma得：兩導線加速度大小之比  $\frac{{a}_{a}}{{a}_}$=$\frac{{m}_}{{m}_{a}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）對a棒下滑過程，由機械能守恒定律得：m_agh=$\frac{1}{2}$m_av_a²
對a，b棒組成的系統，合外力為零，系統的動量守恒，取向右為正方向，a，b棒最終達到相同速度v做勻速運動，由動量守恒定律有：
  m_av_a=（m_a+m_b）v
所以解得  v=$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$；
（3）整個過程中電流做功產生的熱量是：Q=m_agh-$\frac{1}{2}$（m_a+m_b）v²；
解得：Q=$\frac{1}{3}$m_agh．
答：（1）當a進入磁場瞬間，兩導線加速度大小之比a_a：a_b是1：2；
（2）a、b最終的速度是$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$；
（3）整個過程中電流做功產生的熱量是$\frac{1}{3}$m_agh．

點評 解決本題的關鍵要正確分析兩棒的受力情況，判斷其運動情況，a進入磁場后運動情形與一個小球壓縮另一個帶有彈簧的小球類似，利用系統的動量守恒和能量守恒研究．