Question

（2013?寶山區一模）相距L=1.5m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量為m₁=1kg的金屬棒ab和質量為m₂=0.27kg的金屬棒cd均通過棒兩端的套環水平地套在金屬導軌上，如圖（a）所示，虛線上方磁場方向垂直紙面向里，虛線下方磁場方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同．ab棒光滑，cd棒與導軌間動摩擦因數為μ=0.75，兩棒總電阻為1.8Ω，導軌電阻不計．ab棒在方向豎直向上，大小按圖（b）所示規律變化的外力F作用下，從靜止開始，沿導軌勻加速運動，同時cd棒也由靜止釋放．（g=10m/S²）
（1）求出磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小；
（2）已知在2s內外力F做功40J，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱；
（3）求出cd棒達到最大速度所需的時間t₀，并在圖（c）中定性畫出cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的圖線．

Answer 1

分析：（1）由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到F與時間t的關系式，再根據數學知識研究圖象（b）斜率和截距的意義，即可求磁感應強度B的大小和ab棒加速度大小．
（2）由運動學公式求出2s末金屬棒ab的速率和位移，根據動能定理求出兩金屬棒產生的總焦耳熱．
（3）分析cd棒的運動情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
cd棒達到最大速度時重力與摩擦力平衡，而cd棒對導軌的壓力等于安培力，可求出電路中的電流，再由E=BLv、歐姆定律求出最大速度．

解答：解（1）經過時間t，金屬棒ab的速率 v=at        
此時，回路中的感應電流為       I=

E

R

=

BLv

R

對金屬棒ab，由牛頓第二定律得   F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：F=m1a+m1g+

B2L2

R

at
在圖線上取兩點：t₁=0，F₁=11N； t₂=2s，F₂=14.6N
代入上式得   a=1m/s²，B=1.2T                      
（2）在2s末金屬棒ab的速率 v_t=at=2m/s    
所發生的位移    S=

1

2

at2=2m
由動能定律得   WF-m1gS-W安=

1

2

m1

v

2 t

又   Q=W_安                               
聯立以上方程，解得
  Q=W_F-mgs-

1

2

m

v

2 t

=40-1×10×2-

1

2

×1×22=18（J）
（3）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
當cd棒速度達到最大時，對cd棒有：m₂g=μF_N
又     F_N=F_安 F_安=BIL
整理解得 m₂g=μBIL
對abcd回路：I=

E

R

=

BLvm

R

解得    v_m=

m2gR

μB2L2

=2m/s         
   v_m=at₀   得  t₀=2s
f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．   
答：
（1）求出磁感應強度B的大小為1.2T，ab棒加速度大小1m/s²；
（2）這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱是18J；
（3）cd棒達到最大速度所需的時間t₀為2s，cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的情況如圖．

點評：本題中cd棒先受到滑動摩擦，后受到靜摩擦，發生了突變，要仔細耐心分析這個動態變化過程．滑動摩擦力與安培力有關，呈現線性增大．