Question

我國神舟號載人航天飛行獲得了圓滿的成功，航天員可以實現空間出艙的活動，飛船已成功實施了釋放小伴星的實驗，實現了我國空間技術發展的重大跨越．已知飛船在地球上空的圓軌道上運行時離地面的高度為h，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G．求飛船在該圓軌道上運行時：
（1）線速度v的大小和周期T；
（2）線速度v與第一宇宙速度的比值；
（3）飛船的向心加速度a_n．

Answer 1

（1）用M表示地球質量，m表示飛船質量，由萬有引力定律和牛頓定律得：
G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

地球表面質量為m₀的物體，有：G

Mm0

R2

=m0g
解得飛船在圓軌道上運行時速度：v=

GM R+h

=

R2g R+h

飛船在運行的周期：T=

2π(R+h)

v

解得：T=

2π(R+h)

R

R+h R

（2）第一宇宙速度v₁滿足：mg=m

v12

R

因此飛船在圓軌道上運行時速度的大小與第一宇宙速度的大小之比值為：

v

v1

=

R R+h

（3）由牛頓第二定律得：G

Mm

(R+h)2

=man
則飛船的向心加速度為：a_n=

R2g

(R+h)2

答：（1）線速度v的大小和周期T為

2π(R+h)

R

R+h R

；
（2）線速度v與第一宇宙速度的比值為

R R+h

；
（3）飛船的向心加速度a_n為

R2g

(R+h)2

．