Question

為了對火星及其周圍的空間環境進行探測，我國預計于2011年10月發射第一顆火星探測器“螢火一號”．已知火星球體半徑為R，探測器在離火星表面某高度的圓軌道上運動時周期為T，假設在距火星表面高h（h＜＜R）處將一小球以初速度v₀水平拋出，小球落到火星水平表面時水平位移為s，試依據上述數據計算出探測器圍繞火星做圓周運動時距離火星表面的高度H．

Answer 1

分析：以小球為研究對象，根據平拋運動的規律求出小球的加速度，即為火星表面的重力加速度．根據萬有引力與重力近似相等，求出火星的質量．再對探測器研究，根據萬有引力提供力向心力，由牛頓第二定律求出探測器圍繞火星做圓周運動時距離火星表面的高度H．

解答：解：小球在火星表面做平拋運動，則有
   水平方向：s=v₀t，
   豎直方向：h=

1

2

gt2，
聯立解得，g=

2h v 2 0

s2

①
設火星的質量為M，任一在火星表面的質量為物體m′所受的重力近似等于火星對它的萬有引力，則有
   m′g=G

Mm′

R2

  ②
探測器在離火星表面高度為H的圓軌道上做勻速圓周運動，由火星的萬有引力提供向心力，則有
  G

Mm

(R+H)2

=m

4π2(R+H)

T2

③
聯立①②③解得，H=

3	h v 2 0 R2T2 2π2s2

-R
答：探測器圍繞火星做圓周運動時距離火星表面的高度H=

3	h v 2 0 R2T2 2π2s2

-R．

點評：本題要圍繞火星的質量為中心，它與探測器的高度有關，也與表面的重力加速度有聯系，考查解決綜合問題的能力．中等難度．