Question

（2011?溫州二模）天文學家發現了一顆太陽系外行星，其半徑約為地球的2倍，質量約為地球的6倍；并環繞著一顆紅矮星運行，公轉周期約為地球公轉周期的1/200，公轉半徑約為日地距離的1/50．設該行星表面的重力加速度為g₁，地球表面重力加速度為g₂，該紅矮星的質量為M₁，太陽質量為M₂．假定該行星和地球公轉軌跡為圓，且不考慮自轉．以下估算正確的是（　　）

A．.g₁和g₂的比值約為3：2

B．.g₁和g₂ 的比值約為3：1

C．M₁和M₂的比值約為3：1

D．M₁和M₂的比值約為8：25

Answer 1

分析：（1）星球表面的物體受到的重力等于星球對它的萬有引力，求出重力加速度的表達式，然后求出兩加速度之比．
（2）行星繞恒星做圓周運動所需向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律列方程求出恒星質量的表達式，然后求出紅矮星與太陽的質量之比．

解答：解：（1）設某物體質量為m，設行星質量為M，行星半徑為r，
物體受到的重力等于萬有引力，即：G

Mm

r2

=mg，則重力加速度g=

GM

r2

，

g1

g2

=

GM行星 r 2 行星

GM地球 r 2 地球

=

M行星 r 2 地球

M地球 r 2 行星

=

6M地球 r 2 地球

M地球(2r地球)2

=

3

2

，故A正確，B錯誤；
（2）行星繞紅矮星做圓周運動，由牛頓第二定律得：
G

M行星M1

r 2 行星

=M_行星(

2π

T行星

)2r_行星，紅矮星質量：M₁=

4π2 r 3 行星

G T 2 行星

；
地球繞太陽做圓周運動，由牛頓第二定律得：
G

M地球M2

r 2 地球

=M_地球(

2π

T   地球

)2r_地球，太陽質量：M₂=

4π2 r 3 地球

G T 2 地球

，

M1

M2

=

4π2 r 3 行星 G T 2 行星

4π2 r 3 地球 G T 2 地球

=

r 3 行星 T 2 地球

r 3 行星 T 2 行星

=

( 1 50 r地球)3 T 2 地球

r 3 地球 ( 1 200 T地球)2

=

8

25

，
故C錯誤，D正確；
故選AD．

點評：本題難度不是很大，熟練應用萬有引力公式、牛頓定律即可正確解題．