Question

一探險隊在探險時遇到一山溝，山溝的一側OA豎直，另一側的坡面OB呈拋物線形狀，與一平臺BC相連，如圖所示．已知山溝豎直一側OA的高度為2h，平臺離溝底h高處，C點離豎直OA的水平距離為2h．以溝底的O點為原點建立坐標系xOy，坡面的拋物線方程為y=x²/2h．質量為m的探險隊員從山溝的豎直一側，沿水平方向跳向平臺．人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）若探險隊員以速度v₀水平跳出時，掉在坡面OB的某處，則他在空中運動的時間為多少？
（2）為了能跳在平臺上，他的初速度應滿足什么條件？請計算說明．
（3）若已知探險隊員水平跳出，剛到達OBC面的動能E_k=1.55mgh，則他跳出時的水平速度可能為多大？

Answer 1

分析：（1）人落在OB上某位置時，確定有位置坐標，根據位置坐標可以求出平拋運動下落和水平方向的位移，根據水平方向勻速直線運動豎直方向自由落體運動列方程求解即可；
（2）人落在平臺上，抓住臨界點B和C分別求出初速度，則落在平臺上的初速度應該介于這兩個初速度之間．
（3）根據人可能落在OB面和BC面上分別求出可能的初速度．

解答：解：（1）設探險隊員跳到坡面上時水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運動規律有：
x=v₀t     ①
H=

1

2

gt2        ②
根據幾何關系有：
y=2h-H
由于落在OB上滿足拋物體線方程即
y=

x2

2h

即
2h-H=

x2

2h

               ③
由①②③可解得H=

2gh2

v 2 0 +gh

即運動時間t=

4h2 v 2 0 +gh

（2）若探險員掉在C處，根據題意應該滿足幾何關系有：
∵h=

1

2

gt2
∴t=

2h g

又∵x=2h=v₀t
∴v0=

2gh

若探險員掉在B 處，有：
h=

x2

2h

x=

2

h=v₀t
∴v0=

gh

即探險員落在BC處的速度關系應該滿足：

gh

≤v0≤

2gh

（3）若搶險員掉在BC面上，根據動能定理有：
Ek-

1

2

m

v

2 0

=mgh
代入得：1.55mgh-

1

2

m

v

2 0

=mgh
解得：v0=

11gh 10

若探險員掉在坡面OB上，
Ek-

1

2

m

v

2 0

=mg

1

2

gt2
即1.55mgh-

1

2

m

v

2 0

=mg

1

2

gt2
由（1）得t=

4h2 v 2 0 +gh

所以可以解得：v0=

3gh 5

答：（1）若探險隊員以速度v₀水平跳出時，掉在坡面OB的某處，則他在空中運動的時間為

4h2 v 2 0 +gh

；
（2）為了能跳在平臺上，他的初速度應滿足

gh

≤v0≤

2gh

；
（3）若已知探險隊員水平跳出，剛到達OBC面的動能E_k=1.55mgh，則他跳出時的水平速度可能為v0=

11gh 10

或v0=

3gh 5

．

點評：本題主要考查平拋運動和動能定理的應用，以及函數最值的計算，意在考查考生的綜合分析及數學計算能力．