Question

3．“神舟七號”是由“長征-2F”運載火箭將其送入近地點為A，遠地點為B的橢圓軌道上，“神舟七號”實施變軌后，進入預定軌道2，其簡化的模擬軌道如圖所示，假設近地點A距地面高度為h，飛船在預定圓軌道2上飛行的線速度大小為v，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）飛船在近地點A的加速度a_A大小；
（2）飛船在預定圓軌道2上飛行的周期T．

Answer 1

分析 （1）飛船在近地點A時，萬有引力產生加速度，由牛頓第二定律列出加速度a_A的表達式．由地球表面的重力加速度為g，地球半徑R，根據重力近似等于物體的重力列出地球質量的表達式，聯立兩個表達式求解加速度a_A大小．
（2）先根據萬有引力定律求出軌道半徑，再根據圓周運動的公式$v=\frac{2πr}{T}$可求出周期

解答 解：（1）設地球質量為M，飛船質量為m，根據牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m{a}_{A}^{\;}$…①
而地球表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$…②
得：$GM=g{R}_{\;}^{2}$
聯立解得：${a}_{A}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$
（2）在圓軌道2上軌道半徑為r，根據萬有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得：$r=\frac{GM}{{v}_{\;}^{2}}$=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{v}_{\;}^{2}}$
根據圓周運動周期公式有：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πg{R}_{\;}^{2}}{{v}_{\;}^{3}}$
答：（1）飛船在近地點A的加速度a_A大小為$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$；
（2）飛船在預定圓軌道2上飛行的周期T為$\frac{2πg{R}_{\;}^{2}}{{v}_{\;}^{3}}$．

點評 本題屬于衛星類型問題，往往根據萬有引力提供向心力求解衛星的速度，其中比較隱含的是由地球表面的重力加速度為g，地球半徑R可求出地球的質量．