Question

2008年12月，天文學家們通過觀測的數據確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質量與太陽質量的倍數關系。研究發現，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運動，其軌道半長軸為9.5010²天文單位（地球公轉軌道的半徑為一個天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到S2星的運行周期為15.2年。

（1）若將S2星的運行軌道視為半徑r=9.5010²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質量M_A是太陽質量M_s的多少倍（結果保留一位有效數字）；

（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質量為m的粒子具有勢能為E_p=－G（設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零），式中M、R分別表示黑洞的質量和半徑。已知引力常量G=6.710^－11N·m²/kg²，光速c=3.010⁸m/s，太陽質量M_s=2.010³⁰kg，太陽半徑R_s=7.010⁸m，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經典力學范圍內求人馬座A*的半徑R_A與太陽半徑之比應小于多少（結果按四舍五入保留整數）。

Answer 1

1），

（2）

解析:

（1）S2星繞人馬座A^*做圓周運動的向心力由人馬座A^*對S2星的萬有引力提供，設S2星的質量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則

                                    ①

                                                ②

設地球質量為m_E，公轉軌道半徑為r_E，周期為T_E，則

                                      ③

綜合上述三式得

                             

       式中         T_E=1年                                               ④

r_E=1天文單位                                         ⑤

       代入數據可得⑥

       （2）引力對粒子作用不到的地方即為無限遠，此時粒子的勢能為零。“處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運動的粒子在遠離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達無限遠之前，其動能便減小為零，此時勢能仍為負值，則其能量總和小于零。根據能量守恒定律，粒子在黑洞表面處的能量也小于零，則有

                                        ⑦

依題意可知

，

可得

                                           ⑧

代入數據得

                                        ⑨

                                                       ⑩