Question

12．一輛執勤的警車停在公路邊，當警員發現從他旁邊以10m/s的速度勻速行駛的貨車嚴重超載時，決定前去追趕，經過5.5s后警車發動起來，并以2.5m/s²的加速度做勻加速運動，并盡快追上貨車，但警車的速度最大是25m/s．問：
（1）警車在追趕貨車的過程中，兩車之間的最大距離是多少？
（2）警車發動后至少經過多長時間才能追上貨車？

Answer 1

分析 （1）在兩車速度相等前，貨車的速度大于警車，兩車的距離越來越大，速度相等之后，貨車的速度小于警車，兩車的距離越來越小，所以兩車速度相等時，距離最大．根據速度相等求出時間，再根據運動學的位移公式求出相距的最大距離．
（2）先判斷當警車速度達到最大速度時，有沒追上．若追上，則根據位移關系，求出運動的時間．若沒有追上，求出兩車相距的距離，之后警車以最大速度追及，根據位移關系，求出追及時間（注意此時追及時間等于加速階段的時間和勻速追及的時間之和）．

解答 解：（l）警車在追趕貨車的過程中，當兩車速度相等時，它們的距離最大．設警車發動后經過t₁時間兩車的速度相等，則有：
${t}_{1}^{\;}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{a}$=$\frac{10}{2.5}s=4s$
s_貨=v₀（t₁+t₀）=10×（4+5.5）m=95m
s_警=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{4}_{\;}^{2}=20m$
所以兩車間的最大距離為：△s=s_貨-s_警=75m
（2）當警車剛達到最大速度時，運動時間為：
 ${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{a}=\frac{25}{2.5}=10s$
s'_貨=v₀（t₂+t₀）=10×（10+5.5）m=155m
s'_警=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×1{0}_{\;}^{2}=125m$  
因為s'_貨＞s'_警，故此時警車尚未趕上貨車
警車剛達到最大速度時兩車距離△s′=s'_貨-s'_警=30m，
警車達到最大速度后做勻速運動，設再經過△t時間追趕上貨車．則有：
$△t=\frac{△s′}{{v}_{m}^{\;}-{v}_{0}^{\;}}=2s$
所以警車發動后要經過t=t₂+△t=12s才能追上貨車．
答：（1）警車在追趕貨車的過程中，兩車之間的最大距離是75m
（2）警車發動后至少經過12s時間才能追上貨車

點評 解決本題的關鍵知道速度小者加速追速度大者，兩者速度相等時，距離最大．以及知道警車追上貨車時，兩車的位移相等．