Question

如圖所示，質量為M=400g的鐵板固定在一根輕彈簧上方，鐵板的上表面保持水平．彈簧的下端固定在水平面上，系統處于靜止狀態．在鐵板中心的正上方有一個質量為m=100g的木塊，從離鐵板上表面高h=80cm處自由下落．木塊撞到鐵板上以后不再離開，兩者一起開始做簡諧運動．木塊撞到鐵板上以后，共同下降了l₁=2.0cm時刻，它們的共同速度第一次達到最大值．又繼續下降了l₂=8.0cm后，它們的共同速度第一次減小為零．空氣阻力忽略不計，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）若彈簧的彈力跟彈簧的形變量成正比，比例系數叫做彈簧的勁度，用k表示．求本題中彈簧的勁度k．
（2）從木塊和鐵板共同開始向下運動到它們的共同速度第一次減小到零過程中，彈簧的彈性勢能增加了多少？
（3）在振動過程中，鐵板對木塊的彈力的最小值N是多少？

Answer 1

分析：（1）M靜止時，根據平衡條件列式；速度最大時，M、m組成的系統加速度為零，根據平衡條件列式；然后聯立求解．
（2）m先自由落體，根據動能定理求解出碰撞前的速度；碰撞過程動量守恒，根據守恒定律求解出碰后速度；根據機械能守恒定律求解彈性勢能的增加量．

解答：解：（1）M靜止時，設彈簧壓縮量為l₀，則
Mg=kl₀ ①
速度最大時，M、m組成的系統加速度為零，則
（M+m）g-k（l₀+l₁）=0     ②
聯立①②解得：k=50N/m      ③
（2）m下落h過程中，mgh=

1

2

mv₀²                      ④
m沖擊M過程中，m與M系統動量守恒：m v₀=（M+m）v       ⑤
所求過程的彈性勢能的增加量：
△E=（M+m）g（l₁+l₂）+

1

2

（M+m）v² ⑥
聯立④⑤⑥解得：△E=0.66J  
（3）由簡諧運動的規律知，最高點和最低點的加速度大小相等、方向相反，
最高點木塊加速度方向向下，處于失重狀態，鐵板對木塊的彈力最小，
設為F，則有：kl₂=（M+m）a
mg-F=ma
解得：F=0.2N
答：（1）彈簧的勁度系數k為50N/m．
（2）從木塊和鐵板共同開始向下運動到它們的共同速度第一次減小到零的過程中，彈簧的彈性勢能增加了0.66J．
（3）鐵板對木塊的彈力的最小值N是0.2N．

點評：本題關鍵明確m與M運動規律，同時結合動能定理、機械能守恒、動量守恒定律、平衡條件列方程后聯立求解．