Question

（2011?上海模擬）一個在地球上走時正確的擺鐘放到某星球表面上使用，經過1h的時間卻在擺鐘上讀到走過的時間是0.4h．（取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計．）
（1）求該星球表面附近的重力加速度g’；
（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球的質量與地球質量之比M_星：M_地．
（3）若身高1.6m的宇航員在地球上跳高時能躍過1.6m高的橫桿，在該星球表面以地球表面時同樣的速度起跳，能躍過多高的橫桿？（設宇航員站立時的重心在離腳0.8m處，躍過橫桿時重心與桿等高．）

Answer 1

分析：（1）由題意，一個在地球上走時正確的擺鐘放到某星球表面上使用，經過1h的時間在擺鐘上讀到走過的時間是0.4h，即求出單擺周期之比，根據單擺周期公式求出星球表面與地球表面重力加速度之比，可得到星球表面附近的重力加速度g′；
（2）根據萬有引力等于重力，列式，運用比例法可求出星球的質量與地球質量之比M_星：M_地．
（3）豎直上拋的最大高度h=

v 2 0

2g

，初速度相等時，h與g成反比．即可求得宇航員在這個星球上能起跳的高度，從而得到宇航員跳高成績．

解答：解：（1）單擺的周期T=2π

L g

，擺鐘的讀數為t，擺動一次走時為t₀，擺動次數為N，則：t=Nt₀，擺鐘每次擺動走時是相同的，t∝N
實際時間為t_實=NT，在相同內，N∝

1

T

，則單擺的周期T與t成反比，所以g∝t²，則有
  

g′

g

=

t′2

t2

=

0．42

12

=0.16      
解得  g′=0.16g=1.6 （m/s²）
（2）由G

Mm

R2

=mg得：
M=

gR2

G

故該星球的質量與地球質量之比為：

M星

M地

=

g′ R 2 星 G

g R 2 地 G

=

g′ R 2 星

g R 2 地

=0.16×

12

42

=

1

100

（3）在地球上能起跳的高度h=0.8m，在這個星球上能起跳的高度為h′，則有：
  

h′

h

=

v2 2g′

v2 2g

=

g

g′

故宇航員在這個星球上能起跳的高度為h′=

g

g′

h=

0.8

0.16

=5m，宇航員跳高成績H=0.8+5=5.8（m）
答：
（1）星球表面附近的重力加速度g’為1.6 m/s²；
（2）該星球的質量與地球質量之比M_星：M_地為

1

100

．
（3）該星球表面以地球表面時同樣的速度起跳，能躍過5.8m高的橫桿．

點評：本題是萬有引力定律與單擺、拋體運動等的綜合，它們之間的橋梁是重力加速度g．根據黃金代換式g=

GM

r2

，知道天體的半徑及表面重力加速度，即可求天體的質量．