Question

（2011?長寧區一模）一質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為m和2m的小球A和 B．支架的兩直角邊長度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內轉動，如圖所示．開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，不計任何阻力．轉動中設OA邊與水平方向的夾角為θ，則當A球速度達最大時θ為

45°

；假定支架未轉動時兩小球的總重力勢能為E_o，轉動中當A的速度為

8E0 9m

時兩小球的總重力勢能為E_o/3．

Answer 1

分析：當兩個小球系統的質量中心最低時速度最大；也可以用解析法，先假設轉過θ，根據系統機械能守恒，列式求出速度的一般表達式，然后再對表達式進行討論即可．

解答：解：根據題意知，A、B兩球的角速度相等，線速度之比等于轉動半徑之比，為2：1，小球A、B系統中，只有重力勢能和動能相互轉化，系統機械能守恒，假設轉動θ，則OA桿與水平方向的夾角為θ，則A球減小的機械能等于B球增加的機械能，有
mg?2l?sinθ-2mg?（l-lcosθ）=

1

2

mv2+

1

2

?2m?(

v

2

)2
解得
v=

8 3 gl(sinθ+cosθ-1)

由數學知識知，當θ=45°時，sinθ+cosθ有最大值，故當θ=45°時，A球的速度最大；
重力勢能減小

2

3

E0，故動能增加

2

3

E0，有

2

3

E0=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

?2m?(

v1

2

)2
解得
v₁=

8E0 9m

故答案為：45°，

8E0 9m

．

點評：本題關鍵根據兩個球系統機械能守恒，運用系統機械能守恒定律列式得出速度與轉動角度θ之間的關系，然后根據速度表達式進行討論．