Question

在豎直平面內有一個半徑為R的光滑圓環軌道，一個質量為m的小球穿在圓環軌道上做圓周運動，如圖所示，到達最高點C時的速率是v_C=

4gR 5

，則下列說法中正確的是（　　）

• A．此小球的最大速率是

  6

  v_C
• B．小球到達C點時對軌道的壓力是

  4

  5

  mg
• C．小球在任一直徑兩端點上的動能之和相等
• D．小球沿圓軌道繞行一周所用的時間小于π

  5R g

Answer 1

分析：因為圓環軌道是光滑的，只有重力做功，所以機械能守恒，可以求得在最低點時的最大速度；
對物體受力分析，根據圓周運動的向心力公式可以求得對軌道的作用力，由周期公式可以知道物體運動的周期．

解答：解：A、速度最大的點應該是最低點時，根據動能定理：

1

2

mV²-

1

2

mVc²=2mgR，解得V=

24gR 5

=

6

Vc，所以A正確．
B、在C點有：mg-T=m

V 2 c

R

，得T=

1

5

mg，所以B錯誤．
C、整個過程中機械能守恒，在任一直徑兩端點上的點，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢能的和相等，由于總的機械能守恒，所以它們的動能之和也相等，所以C正確．
D、由T=

2πR

V

，當速度最小時，代入計算可得T=π

5R g

，之后小球的速度在變大，所以T要減小，所以T＜π

5R g

，所以D正確．
故選ACD．

點評：小球穿在圓環軌道上做圓周運動，屬于桿的模型，在最高點時速度最小，向心力最小，最低點時速度最大，向心力最大，由機械能守恒可以求它們之間的關系．