Question

19．組成星球的物質是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉速率，如果超過了該速率，星球的萬有引力將不足以維持赤道附近的物體做圓周運動．已知一個星球的平均密度為ρ，求它的最小自轉周期，已知萬有引力恒量為G，球體積公式為V=$\frac{4}{3}$πR³．

Answer 1

分析 由題意可知當周期達到某一最小值時，物體對星球表面應剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當星球表面的物體在星球表面做圓周運動的向心力；故由萬有引力公式可求得最小周期．

解答 解：由F=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對星球表面的壓力最小，當周期小到一定值時，壓力為零，此時萬有引力充當向心力，即：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
答：它的最小自轉周期為2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

點評 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當物體的向心力及支持力，星球的轉動角速度越大、周期越小時，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越小；而當向心力大到一定值時，物體會離開星球表面．
另外，也可以這樣考慮：因M=ρ$\frac{4}{3}$πR³，代入上式可得：T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$．