Question

3．在光滑絕緣的水平面上，存在平行于水平面向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，水平面上放置兩個(gè)靜止，且均可看做質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩小球質(zhì)量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場(chǎng)線平行，開(kāi)始時(shí)兩球相距L，在電場(chǎng)力作用下A球與B球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞，設(shè)碰撞過(guò)程中，A、B兩球間無(wú)電量轉(zhuǎn)移．
（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）從開(kāi)始到即將發(fā)生第二次碰到這段過(guò)程中電場(chǎng)力做了多少功？
（3）從開(kāi)始即將發(fā)生第二次碰撞這段過(guò)程中，若要求A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)桌面始終無(wú)壓力且剛好不離開(kāi)水平桌面（v=0時(shí)刻除外），可以在水平面內(nèi)加一與電場(chǎng)正交的磁場(chǎng)，請(qǐng)寫出磁場(chǎng)B與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與B球碰撞，由動(dòng)能定理或牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得碰前A的速度，發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可以求出碰后AB兩球的速度，記得結(jié)論的話：質(zhì)量相等的兩個(gè)球發(fā)生彈性碰撞速度交換．
（2）由于交換速度，則A球第一次碰撞后由靜止再經(jīng)電場(chǎng)加速，而B球做勻速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)A球再次追上B時(shí)，兩者的位移相等，從而能求出追上的時(shí)間及追上時(shí)A的速度．由能量守恒定律就能求出該過(guò)程中電場(chǎng)力做的總功．
（3）由題設(shè)條件，小球A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)桌面始終無(wú)壓力且剛好不離開(kāi)水平桌面，則任何時(shí)刻（除t=0之外）受到的洛侖茲力與重力平衡，但在水平方向受電場(chǎng)力做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度均勻增大，由洛侖茲力公式F=BQv，則要求B減小，F(xiàn)=mg才不變，具體的要寫出平衡式，才能寫出B關(guān)于t的表達(dá)式．

解答 解（1）A球的加速度$a=\frac{QE}{m}$，碰前A的速度${v_{A1}}=\sqrt{2aL}=\sqrt{\frac{2QEL}{m}}$，碰前B的速度v_B1=0．
  設(shè)碰后A、B球速度分別為v'_A1、v'_B1，兩球發(fā)生碰撞時(shí)，由動(dòng)量守恒和能量守恒定律有：
   mv_A1=mv′_A1+mv′_B1
   $\frac{1}{2}m{{v}^{2}}_{A1}=\frac{1}{2}mv{{′}^{2}}_{A1}+\frac{1}{2}mv{{′}^{2}}_{B1}$
  所以A與B碰撞后交換速度：v'_A1=0，${v'_{B1}}={v_{A1}}=\sqrt{\frac{2QEL}{m}}$
（2）設(shè)A球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，即t=0，A、B球發(fā)生第一次、第二次的碰撞時(shí)刻分別為t₁、t₂
  對(duì)A球由勻變速度公式有：${t_1}=\frac{{{v_{A1}}-0}}{a}=\sqrt{\frac{2mL}{QE}}$
  第一次碰后，經(jīng)t₂-t₁時(shí)間A、B兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰前瞬間A、B兩球速度分別為v_A2和v_B2
由位移關(guān)系有：${v'_{B1}}（{t_2}-{t_1}）=\frac{1}{2}a{（{t_2}-{t_1}）^2}$
  解得：t₂=3t₁=3$\sqrt{\frac{2mL}{QE}}$
  ${v_{A2}}=a（{t_2}-{t_1}）=2a{t_1}=2{v_{A1}}=2\sqrt{\frac{2QEL}{m}}$
  v_B2=v'_B1=$\sqrt{\frac{2QEL}{m}}$
 由功能關(guān)系可得：W_電=$\frac{1}{2}mv_{A2}^2+\frac{1}{2}mv_{B2}^2=5QEL$
[另解：兩個(gè)過(guò)程A球發(fā)生的位移分別為x₁、x₂，x₁=L，由勻變規(guī)律推論x₂=4L，根據(jù)電場(chǎng)力做功公式有W=QE（x₁+x₂）=5QEL]
（3）對(duì)A球在豎直方向上由平衡條件得：$\left\{\begin{array}{l}{QB{v}_{A}=mg}\\{{v}_{A}=at}\\{a=\frac{QE}{m}}\end{array}\right.$ 
  從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第一次碰撞：${B_{（t）}}=\frac{mg}{Qat}=\frac{{{m^2}g}}{{{Q^2}Et}}$   （$0＜t≤\sqrt{\frac{2mL}{QE}}$）
  從第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞：${B_{（t）}}=\frac{{{m^2}g}}{\begin{array}{l}{Q^2}E（t-\sqrt{\frac{2mL}{QE}}）\end{array}}$   （$\sqrt{\frac{2mL}{QE}}＜t≤3\sqrt{\frac{2mL}{QE}}$）
答：（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為0、$\sqrt{\frac{2QEL}{m}}$．
（2）從開(kāi)始到即將發(fā)生第二次碰到這段過(guò)程中電場(chǎng)力做了5QEL的功．
（3）若要求A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)桌面始終無(wú)壓力且剛好不離開(kāi)水平桌面（v=0時(shí)刻除外），可以在水平面內(nèi)加一與電場(chǎng)正交的磁場(chǎng)，那么磁場(chǎng)B與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：①?gòu)腁開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第一次碰撞：${B_{（t）}}=\frac{mg}{Qat}=\frac{{{m^2}g}}{{{Q^2}Et}}$  （$0＜t≤\sqrt{\frac{2mL}{QE}}$）；②從第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞：${B_{（t）}}=\frac{{{m^2}g}}{\begin{array}{l}{Q^2}E（t-\sqrt{\frac{2mL}{QE}}）\end{array}}$（$\sqrt{\frac{2mL}{QE}}＜t≤3\sqrt{\frac{2mL}{QE}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是電場(chǎng)相關(guān)知識(shí)與動(dòng)量守恒定律的綜合，雖然A球受電場(chǎng)力，但碰撞的內(nèi)力遠(yuǎn)大于內(nèi)力，則碰撞前后動(dòng)量仍然守恒．由于兩球的質(zhì)量相等則彈性碰撞后交換速度．那么A球第一次碰后從速度為零繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到發(fā)生第二次碰撞．題設(shè)過(guò)程只是發(fā)生第二次碰撞之前的相關(guān)過(guò)程，有涉及第二次以后碰撞，當(dāng)然問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些．