Question

(18分)摩天大樓中一部直通高層的客運電梯，行程超過百米。電梯的簡化模型如1所示。考慮安全、舒適、省時等因索，電梯的加速度a是隨時間t變化的。已知電梯在t = 0時由靜止開始上升，a - t圖像如圖2所示。電梯總質最m = 2.0× kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²。

（1）求電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；

（2）類比是一種常用的研究方法。對于直線運動，教科書中講解了由v - t圖像求位移的方法。請你借鑒此方法，對比加速度的和速度的定義，根據圖2所示a - t圖像，求電梯在第1s內的速度改變量△v₁和第2s末的速率v₂;

（3）求電梯以最大速率上升時，拉力做功的功率p：再求在0～11s時間內，拉力和重力對電梯所做的總功W。

 

Answer 1

【答案】

（1）F₁ =2.2×N  F₂ = 1.8×N  （2）v₁ = 0.50m/s  v₂ = 1.5m/s

（3）P = 2.0×W   W = 1.0× J

【解析】解：（1）由牛頓第二定律得：F – mg = ma

由a – t圖像可知，F₁和 F₂對應的加速度分別是a₁ = 1.0m/s²，a₂ = - 1.0m/s²

F₁ = m（g + a₁）= 2.0××（10 + 1.0）N = 2.2×N

F₂ = m（g + a₂）= 2.0××（10 - 1.0）N = 1.8×N

（2）類比可得，所求速度變化量等于第1s內a – t圖線下的面積

v₁ = 0.50m/s

同理可得：   v₂ = v₂ – v₁ = 1.5m/s

第2s末的速率 v₂ = 1.5m/s

（3）由a – t圖像可知，11s~30s內速率最大，其值等于0～11s內a – t圖線下的面積，有

v_m = 10m/s

此時電梯做勻速運動，拉力F等重力mg，所求功率

P = Fv_m = mg v_m =  2.0× ×10 ×10 W = 2.0×W

 由動能定理得：W = m—0 = ×2.0× × J = 1.0× J