Question

8．如圖所示，兩塊直徑為2L的同心半圓形帶電金屬板A、B固定在豎直平面內，兩板間的距離很近，可認為A、B間的電場場強大小處處相等、方向都指向圓心O．在A、B左側有方向水平向右、場強大小為E的勻強電場．現從正對A、B板間隙、到兩板的一端距離為d處由靜止釋放一個質量為m、電荷量為q的帶正電微粒（不計重力），發現此微粒恰能在兩板間運動而不與板發生相互作用． 
（1）求A、B之間電場的場強大小．
（2）從釋放微粒開始，經過多長時間微粒的水平位移最大？最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）運用動能定理研究微粒在加速電場的過程．微粒進入半圓形金屬板后，電場力提供向心力，列出等式求解．
（2）勻加速直線運動和勻速圓周運動運用各自的規律求解時間．

解答 解：（1）設微粒穿過AB小孔時的速度為v，根據動能定理，有qEd=$\frac{1}{2}$mv²-0…①
解得v=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$
 微粒進入半圓形金屬板后，電場力提供向心力，有
qE_AB=m$\frac{{v}^{2}}{L}$…②
聯立①、②，得E_AB=$\frac{2Ed}{R}$，
（2）從釋放微粒開始，達到與O水平高度時水平位置最大，L_max=d+L，
在電場E中加速度a=$\frac{Eq}{m}$，
運動時間t₁=$\frac{v}{a}$=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$$•\frac{m}{Eq}$=$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$，
在AB軌道內運動路程為$\frac{1}{4}$×2πL=vt₂
t₂=$\frac{\frac{1}{2}πL}{v}$=$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$，
總時間t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$+$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$
所以從釋放微粒開始，經過（t₁+t₂）粒子第一次到達水平位置最大點．之后，經過t₂達到AB板的上邊，再經過t₁達到與釋放點在同一條豎直線上的點，然后返回；經過（t₁+t₂）第二次達到水平位置最大點．
從開始運動到第二次達到水平位置最大點的總時間：t=3（t₁+t₂）
同理，從開始運動到第三次達到水平位置最大點的總時間：t=5（t₁+t₂）
所以，從開始運動到第n次達到水平位置最大點的總時間：t=（2n-1）（t₁+t₂）=（2n-1）（$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$+$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$）；
答：（1）A、B之間電場的場強大小為$\frac{2Ed}{R}$．
（2）從釋放微粒開始，經過（2n-1）（$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$+$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$）時間微粒的水平位移最大，最大值為d+L．

點評 了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據題目已知條件和求解的物理量選擇物理規律解決問題．
圓周運動問題的解決析關鍵要通過受力分析找出向心力的來源．注意物體的往復運動．