Question

在水平放置的兩塊金屬板AB上加不同電壓，可以使從熾熱的燈絲釋放的電子以不同速度沿直線穿過B板中心的小孔O進入寬度為L的勻強磁場區域，勻強磁場區域的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里．若在A、B兩板間電壓為U_O時，電子不能穿過磁場區域而打在B板延長線上的P點，如圖所示．已知電子的質量為m，電荷量為e，并設電子離開A板時的初速度為零．
（1）求A、B兩板間的電壓為U₀時，電子穿過小孔O的速度大小v₀；
（2）求P點距小孔D的距離x；
（3）若改變A、B兩板間的電壓，使電子穿過磁場區域并從邊界MN上的Q點射出，且從Q點穿出時速度方向偏離v₀方向的角度為θ，則AB兩板間電壓U為多大？

Answer 1

分析：（1）電子在AB板間電場中加速時，電場力做正功，根據動能定理求出電子穿過小孔O的速度大小v₀；
（2）電子進入磁場后由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動．電子打在P點，運動軌跡為半圓．根據牛頓第二定律求出軌跡半徑，P點距小孔D的距離x等于直徑．
（3）從Q點穿出時電子速度方向偏離v₀方向的角度為θ，則軌跡的圓心角等于θ，由幾何關系求出軌跡半徑，由根據牛頓第二定律求出電子在磁場中運動的速度，根據動能定理求出AB間的電壓U．

解答：解：（1）電子在AB板間電場中加速時，由動能定理得：
      eU₀=

1

2

m

v

2 0

  解得v₀=

2eU0 m

    （2）電子進入磁場區域做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可得 
      ev₀B=m

v 2 0

R

    解得 R=

1

B

2mU0 e

       
    故x=2R=

2

B

2mU0 e

．
    （3）若在A、B兩板間加上電壓U時，電子在AB板間加速后穿過B板進入磁場區域做圓周運動，并從邊界MN上的Q點穿出，由動能定理可得
    eU=

1

2

mv2
由牛頓第二定律可得  evB=m

v2

r

由幾何關系可知    rsinθ=L
綜上所得U=

eB2L2

2msin2θ

．
答：（1）當A、B兩板間的電壓為U₀時，電子穿過小孔O的速度大小v₀=

2eU0 m

．
    （2）P點距小孔D的距離x=

2

B

2mU0 e

．
    （3）AB兩板間電壓U=

eB2L2

2msin2θ

．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，先加速后偏轉是常見的類型，難點是畫出磁場中軌跡，由幾何知識求半徑．