Question

（2009?湛江二模）如圖甲所示，一質量為M=2kg的長木板B靜止于光滑水平面上，B的右邊放有豎直擋板．小物體A（可視為質點）和小球的質量均為m=1kg，小球用長為H=1.8m的輕繩懸掛在O點．將輕繩拉直至水平位置后靜止釋放小球，與小物體A發生完全彈性碰撞且速度互換．已知A和B間的動摩擦因數μ=0.2，B與豎直擋板的碰撞時間極短，且碰撞時無機械能損失．重力加速度取g=10m/s²．
（1）若A、B達到共同速度前并未碰到擋板，則B的右端距擋板的距離s至少多長？
（2）若B的右端距擋板距離s=0.5m，要使A最終不脫離B，則木板B的長度至少多長？
（保留三位有效數字）
（3）取B向右運動方向為正．A在B上開始運動時記為t=0時刻，請在圖乙的坐標紙上畫出B運動3s內的速度一時間圖象．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出小球與A碰撞前速度，由于小球與A的質量相同，發生彈性碰撞后速度交換，根據動量守恒定律求出共同速度，進而求出B的位移和加速度；
（2）分析AB的運動情況，由運動學基本公式、動量守恒定律及功能關系求出相對位移，從而求出木板B的最小長度；
（3）分析運動過程，根據運動學基本公式求出B各段運動的時間、位移、速度，從而畫出圖象．

解答：解：（1）設小球與A碰撞前速度為v₀，由機械能守恒定律有：
mgH=

1

2

mv02
解得：v₀=6m/s
由于小球與A的質量相同，發生彈性碰撞后速度交換
設AB達到共同速度u前并未碰到擋板，則根據動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）u
解得：u=2m/s
在這一過程中，B的位移為sB=

u2

2aB

，B的加速度大小為aB=

μmg

M

解得：sB=

Mu2

2μmg

=

2×22

2×0.2×1×10

m=2m
（2）因B離豎直擋板的距離s=0.5m＜2m，所以碰到擋板時，AB未達到相對靜止，設此時B的速度為v_B，
由運動學知識得：vB2=2aBs=

2μmgs

M

解得：v_B=1m/s
設此時A的速度為v_A，根據動量守恒定律得：
mv₀=Mv_B+mv_A
解得v_A=4m/s
設在這一過程中，AB發生的相對位移為s′₁，由功能關系有：
μmgs′₁=

1

2

mv02-

1

2

mvA2-

1

2

MvB2
解得：s′₁=4.5m
B碰撞擋板后，AB最終達到向右的相同速度v，根據動量守恒定律得：
mv_A-Mv_B=（M+m）v
解得：v=

2

3

m/s
在這一過程中，AB發生的相對位移s′₂，由功能關系得：
μmgs′₂=

1

2

mvA2+

1

2

MvB2-

1

2

(M+m)v 2
解得：s′2=

25

6

m
B再次碰到擋板后，AB最終以相同速度v′向左共同運動，根據動量守恒定律得：
Mv-mv=（M+m）v′
解得；v′=

2

9

m/s
在這一過程中，AB發生的相對位移s′₃，由功能關系得：
μmgs′₃=

1

2

(M+m)v 2-

1

2

(M+m)v′2
解得s′₃=

8

27

m
因此，為使A不從B上脫落，B的最小長度為：
L=s′₁+s′₂+s′₃=8.96m
（3）設B第一次到達擋板的時間為t₁
由運動學公式得：v_B=a_Bt₁，解得t₁=1s
B第一次碰撞后以v_B=1m/s向左運動，加速度大小不變，由對稱性可知，t=2s時，B的速度為0，又回到出發點
設再經過時間△T₁，B與A具有相同的速度v=

2

3

m/s
即△T₁=

2

3

s
此時B向右運動的位移為△s1=

1

2

a_B△T12=0.22m
B以速度v=

2

3

m/s與A一起向右做勻速運動的時間為△T2=(3-2-

2

3

)=

1

3

s
在△T₂內運動的位移為△s₂=v△T₂=0.22m
因△s₁+△s₂＜0.5m，可見在3s內B仍沒有與擋板發生第二次碰撞
圖象如圖所示
答：（1）若A、B達到共同速度前并未碰到擋板，則B的右端距擋板的距離s至少2m；
（2）若B的右端距擋板距離s=0.5m，要使A最終不脫離B，則木板B的長度至少8.96m；
（3）B運動3s內的速度一時間圖象如圖所示．

點評：本題主要考查了運動學基本公式、動量守恒定律、功能關系的直接應用，要求同學們能分析清楚AB的運動情況，過程較為復雜，難度較大．