Question

宇航員在地球上用一根長(zhǎng)0.5m細(xì)繩拴著一個(gè)小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用傳感器測(cè)出小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v=3m/s及繩上的拉力F=4N．若宇航員將此小球和細(xì)繩帶到某星球上，在該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用傳感器測(cè)出在最低點(diǎn)時(shí)繩上拉力F₁=9N，最高點(diǎn)時(shí)繩上拉力F₂=3N．取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）該小球的質(zhì)量m；
（2）該星球表面附近的重力加速度g’；
（3）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析：（1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列出等式求解球的質(zhì)量m
（2）該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)最低點(diǎn)和最高點(diǎn)列出等式，并由機(jī)械能守恒列式方程，聯(lián)立求解星球表面附近的重力加速度
（3）根據(jù)重力近似等于萬(wàn)有引力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律列式求M_星：M_地．

解答：解：（1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得
   mg+F=m

v2

l

解得 m=0.5kg
（2）該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得
 最低點(diǎn)：F₁-mg=m

v 2 1

l

 最高點(diǎn)：F₂+mg=m

v 2 2

l

又由機(jī)械能守恒得
 

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+2mg′l
聯(lián)立以上三式得 F₂-F₁=6mg′
解得星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（3）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力得：
  G

Mm

R2

=mg
得：

M星

M地

=

g′ R 2 星

g R 2 地

=

1

80

答：
（1）該小球的質(zhì)量m是0.5kg；
（2）該星球表面附近的重力加速度g為2m/s²；
（3）該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星：M_地是1：80．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵運(yùn)用牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律和掌握萬(wàn)有引力等于重力解答．