Question

5．如圖所示，用長為L的輕質細線將質量為m的小球懸掛于O點．小球在外力作用下靜止在A處，此時細線偏離豎直方向的夾角θ=60°．現撤去外力，小球由靜止釋放，擺到最低點B時，細線被O點正下方距離$\frac{L}{4}$處的光滑小釘子擋住，小球繼續向左擺動到最高點時細線偏離豎直方向的夾角也為60°．小球在運動過程中所受空氣阻力大小恒定，且始終與運動方向相反，重力加速度為g．求：
（1）小球在A處處于靜止狀態時，所受外力的最小值F₁；
（2）小球運動過程中所受的空氣阻力大小f和動能最大時細線偏離豎直方向夾角的正弦值sinα．
（3）小球第二次經過最低點B，開始繞O點向右擺動時，細線的拉力大小T．

Answer 1

分析 （1）小球在A處于靜止狀態，受共點力平衡，當F₁與細線垂直時最小，根據平衡條件求解外力的最小值；
（2）從A到C過程應由動能定理可以求出空氣阻力，當重力沿圓弧切線方向的分力與空氣阻相等時小球速度最大，動能最大，據此求出夾角的正弦值．
（3）應由動能定理求出小球第二次經過最低點B時的速度，然后應用牛頓第二定律求出細線的拉力．

解答 解：（1）小球在A處于靜止，受力平衡，當F₁與細線垂直時最小，拉力的最小值：F₁=mgsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg；
（2）小球從A運動到C過程，由動能定理得：
mg[L（1-cosθ）-$\frac{3}{4}$L（1-cosθ）]-f×$\frac{1}{3}$π（L+$\frac{3}{4}$L）=0-0，解得：f=$\frac{3mg}{14π}$；
小球速度最大時有：mgsinα=f，解得：sinα=$\frac{3}{14π}$；
（3）設此時小球的速度為v，由動能定理得：
mg×$\frac{3}{4}$L（1-cosθ）-f×$\frac{1}{3}$π×$\frac{3}{4}$L=$\frac{1}{2}$mv²-0，
在最低點，由牛頓第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，解得：T=$\frac{23}{14}$mg；
答：（1）小球在A處處于靜止狀態時，所受外力的最小值F₁為$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg；
（2）小球運動過程中所受的空氣阻力大小f為$\frac{3mg}{14π}$，動能最大時細線偏離豎直方向夾角的正弦值sinα為$\frac{3}{14π}$．
（3）小球第二次經過最低點B，開始繞O點向右擺動時，細線的拉力大小T為$\frac{23}{14}$mg．

點評 本題主要考查了共點力平衡條件以及動能定理的直接應用，要求同學們能正確分析小球的受力情況和運動情況，注意求變力做功時，只能使用動能定理．