Question

12．如圖甲所示，在坐標系中，y軸右側空間存在平行y軸方向的勻強電場，場強豎直向下為正，場強方向隨時間周期性變化的關系如圖乙所示．t=0時刻一質量為m，電量為q帶正電的粒子，由y軸上的A點，沿x軸正向以初速度υ₀．已知A點坐標（0，L），場強大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$．電場變化的周期為粒子重力不計，求：
（1）t=$\frac{L}{{v}_{0}}$時刻粒子的位置坐標；
（2）粒子在電場中運動的最大動能；
（3）粒子在動能最大時的橫坐標位置．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求解加速度，根據類平拋運動的規律求解t=$\frac{L}{{v}_{0}}$時刻粒子的位置坐標；
（2）電場力做的功等于動能的變化，由此求出動能最大的值；
（3）粒子動能最大的位置為x=v₀t，分析時間t的取值來分析．

解答 解：（1）粒子在電場中的加速度為a，則根據牛頓第二定律可得：qE=ma，
解得：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}$；
粒子在y方向上前進的位移：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}×\frac{{L}^{2}}{{v}_{0}^{2}}=\frac{L}{4}$，
所以在豎直方向的坐標為y₁=$L-y=\frac{3}{4}L$，
x方向做勻速直線運動，所以x=v₀t=L，
所以在t=$\frac{L}{{v}_{0}}$時刻粒子的位置坐標為（L，$\frac{3}{4}L$）；
（2）粒子在t=$\frac{T}{2}$、$\frac{3T}{2}$、$\frac{（2n-1）T}{2}$時刻動能最大，
v_y=$a•\frac{T}{2}$，
最大速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
最大動能${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=m{v}_{0}^{2}$；
（3）粒子動能最大的位置為：x=v₀t，
其中t=$\frac{（2n-1）}{2}T\\;\\;（n=1、2、3…）$ （n=1、2、3…）
解得：x=2L（2n-1），（n=1、2、3…）
答：（1）t=$\frac{L}{{v}_{0}}$時刻粒子的位置坐標為（L，$\frac{3}{4}L$）；
（2）粒子在電場中運動的最大動能為$m{v}_{0}^{2}$；
（3）粒子在動能最大時的橫坐標位置為x=2L（2n-1），（n=1、2、3…）．

點評 有關帶電粒子在勻強電場中的運動，在解決問題時，主要可以從兩條線索展開：其一，力和運動的關系：根據帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結合運動學公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關系：根據電場力對帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發生變化，利用動能定理研究全過程中能的轉化，研究帶電粒子的速度變化、位移等．