Question

如圖所示，有一個(gè)連通的，上、下兩層均與水平面平行的“U”型的光滑金屬平行導(dǎo)軌，在導(dǎo)軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為m的勻質(zhì)金屬桿A₁和A₂，開始時(shí)兩根金屬桿與軌道垂直，在“U”型導(dǎo)軌的右側(cè)空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，桿A₁在磁場(chǎng)中，桿A₂在磁場(chǎng)之外．設(shè)兩導(dǎo)軌面相距為H，平行導(dǎo)軌寬為L(zhǎng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，金屬桿單位長(zhǎng)度的電阻為r．現(xiàn)在有同樣的金屬桿A₃從左側(cè)半圓形軌道的中點(diǎn)從靜止開始下滑，在下面與金屬桿A₂發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞后兩桿立刻粘在一起并向右運(yùn)動(dòng)．求：
（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，感應(yīng)電流最多產(chǎn)生的熱量；
（3）當(dāng)桿A₂、A₃與桿A₁的速度之比為3：1時(shí)，A₁受到的安培力大小．

Answer 1

分析：金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個(gè)金屬U形導(dǎo)軌上都做變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向相同（都向右），同一時(shí)刻兩桿都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在空間中的方向相同（都向外），但兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向相反，所以總電動(dòng)勢(shì)是這兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)之差，即E=BL（v₁-v₂），電流是I=

BL(v1-v2)

R

，方向?yàn)榻饘贄UA₁中感應(yīng)電流的方向，因?yàn)锳₁比A₂產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大，安培力是F=

B2L2(v1-v2)

R

，方向都和速度方向相反（都向左）．
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律解決問題．

解答：解：（1）設(shè)A₃桿下滑與A₂桿碰前速度大小為v₀，依據(jù)動(dòng)能定理有：

1

2

m

v

2 0

-0=mg

H

2

得：v0=

gH

設(shè)A₃A₂碰后速度大小為v₁，依據(jù)動(dòng)量守恒有：mv₀=2mv₁
得：v1=

1

2

gH

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值：E=BLv1=

BL gH

2

閉合回路的總電阻：R=rL+

rL

2

=

3rL

2

電流的最大值：Im=

E

R

=

B gH

3r

（2）設(shè)A₁A₂A₃桿的共同速度大小為v₂，依據(jù)動(dòng)量守恒有：mv₀=3mv₂
得：v2=

v0

3

=

1

3

gH

依據(jù)能量關(guān)系，感應(yīng)電流最多產(chǎn)生的熱量：Q=

1

2

2m

v

2 1

-

1

2

3m

v

2 2

=

1

12

mgH
（3）設(shè)A₁桿速度大小為v，則A₂A₃桿的速度大小為3v
依據(jù)動(dòng)量守恒有：mv₀=mv+2m×3v
得：v=

v0

7

=

1

7

gH

此時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E′=BL3v-BLv=2BLv=

2

7

BL

gH

感應(yīng)電流I′=

E′

R

A₁桿受到的安培力：F安=BI′L=

4B2L gH

21r

答：（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值為

B gH

2

；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，感應(yīng)電流最多產(chǎn)生的熱量為

1

12

mgH；
（3）當(dāng)桿A₂、A₃與桿A₁的速度之比為3：1時(shí)，A₁受到的安培力大小為

4B2L gH

21r

．

點(diǎn)評(píng)：注重金屬桿A₁、A₂兩桿的運(yùn)動(dòng)過程分析，清楚同一時(shí)刻兩桿都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，根據(jù)兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在回路中的方向會(huì)求出電路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．