Question

假設(shè)若干年后，宇航員站在了火星表面．如果宇航員在火星上時(shí)，自頭頂自由釋放一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t，小球恰好落到火星表面．已知火星的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，宇航員的高為h，不計(jì)火星表面大氣及火星自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）火星表面的重力加速度g
（2）火星的質(zhì)量M
（3）宇航員要乘坐返回艙返回距離火星中心為r的軌道艙（圍繞火星運(yùn)動(dòng)的艙體）．為了安全，返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，必須具有相同的速度．返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，應(yīng)該具有的速度大小．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出火星表面重力加速度．
（2）忽略火星自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解天體質(zhì)量．
（3）軌道艙做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式求解應(yīng)該具有的速度大小．

解答：解：（1）對(duì)小球在火星表面的自由落體運(yùn)動(dòng)：h=

1

2

gt²     
解得：g=

2h

t2

（2）忽略火星自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得：
對(duì)位于火星表面的物體m：

GMm

R2

=mg
解得：M=

gR2

G

       
（3）對(duì)位于火星表面的物體m：

GMm

R2

=mg
對(duì)軌道艙m₀的圓周運(yùn)動(dòng)：

GMm0

r2

=m0

v2

r

       
應(yīng)該具有的速度大小，解得：v=

R

t

2h r

      （其中m₀為軌道艙的質(zhì)量，v為軌道艙的速度大小）
答：（1）火星表面的重力加速度是

2h

t2

（2）火星的質(zhì)量是

gR2

G

（3）返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，應(yīng)該具有的速度大小是

R

t

2h r

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了自由落體運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，要求同學(xué)們能熟練掌握自由落體運(yùn)動(dòng)基本公式及向心力公式，
重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．難度適中．