Question

如圖所示的坐標(biāo)系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內(nèi)，既無電場也無磁場；第三象限，存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場E₁和垂直xy平面（紙面）向里的勻強(qiáng)磁場；在第四象限，存在沿y軸正方向、場強(qiáng)大小E₂的勻強(qiáng)電場（E₂=2E₁但E₁、E₂均未知）．一質(zhì)量為m、電量為q的帶電質(zhì)點，從y軸上處的P點以水平初速度v₀沿x軸負(fù)方向進(jìn)入第二象限．然后經(jīng)過x軸上的P₁點與x軸成θ=60°（如圖示）進(jìn)入第三象限，在第三象限內(nèi)帶電質(zhì)點恰好能做勻速圓周運(yùn)動，之后垂直于y軸，經(jīng)P₂點進(jìn)入第四象限．重力加速度為g，m、v₀、q均為已知量．求：
（1）粒子到達(dá)P₁點時速度v₁的大小及P₁點到O點的距離x；
（2）第三象限空間中電場強(qiáng)度E₁和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先在第二象限內(nèi)做平拋運(yùn)動，將運(yùn)動分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動與豎直方向的自由落體運(yùn)動，從而求出粒子到達(dá)P₁點時速度的大小及P₁點到O點的距離x；
（2）當(dāng)帶電粒子進(jìn)入第三象限內(nèi)的電場、磁場與重力場中時，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動，由平衡可得出電場強(qiáng)度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．

解答：解：（1）對粒子，在第二象限內(nèi)作平拋過程中，依幾何關(guān)系：v₁=

v0

cos60°

=2v₀，
對粒子，在平拋過程中，設(shè)水平位移為x，則有：
x=v₀t…①
tan60°=

vy

vx

=

gt

v0

…②
聯(lián)立①②兩式得：x=v₀?

3 v0

g

=

3 v 2 0

g

（2）要想在第三象限內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，必定有：
qE₁=mg，
得：E₁=

mg

q

當(dāng)洛倫茲力充當(dāng)向心力時：qv₁B=m

v 2 1

r

又幾何關(guān)系可得：r=

x

sin60°

=

2 v 2 0

g

聯(lián)立上述幾式得：B=

mg

qv0

答：（1）粒子到達(dá)P₁點時速度v₁的大小為2v₀，P₁點到O點的距離x為

3 v 2 0

g

；
（2）第三象限空間中電場強(qiáng)度E₁為

mg

q

，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

mg

qv0

．

點評：本題考查帶電粒子在場中兩種種運(yùn)動模型：勻速圓周運(yùn)動、平拋運(yùn)動，關(guān)鍵要知道在電磁場中只有重力與電場力平衡時粒子才能做勻速圓周運(yùn)動，再畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑．