Question

（2012?淮南二模）在某次興趣活動中，設計了如圖所示的軌道，AB是光滑的傾斜軌道，底端有一小段將其轉接為水平的弧形軌道，BC是一個光滑的水平凹槽，凹槽內放置一個質量為m₂=0.5kg的小車，小車上表面與凹槽的兩端點BC等高，CDE是光滑的半徑為R=6.4cm的豎直半圓形軌道，R是圓軌道的最高點．將一個質量為m₁=0.5kg的小滑塊，從AB軌道上離B點高h=0.8m處由靜止開始釋放，滑塊下滑后從B點滑上小車，在到達C點之前，滑塊與小車達到共同速度，小車與凹槽碰撞后立即停止，此后滑塊繼續運動，且恰好能經過圓軌道的最高點E，滑塊與小車之間的動摩擦因數μ=0.4，g=10m/s²．試求：
（1）小滑塊m₁經過圓軌道的最高點E時的速度；
（2）小車的長度L和小車獲得的最大動能．

Answer 1

分析：（1）滑塊做圓周運動，則在最高點處重力充當向心力，則可求得E點的速度；
（2）由A到B的過程中由機械能守恒可求得B滑塊滑上小車的速度，再對滑塊與小車系統由動量守恒及能量守恒可列式得出達到相同速度時的滑塊滑過的長度；碰后小車靜止，滑塊繼續前進，由動能定理可求得滑塊在小車上又滑過的距離，則可求得小車的長度；當達相同速度時，小車的動能最大．

解答：解：（1）設m₁經過內軌道的最高點E時的速度為v_E，
由m₁g=m₁

v 2 E

R

解得：v_E=

gR

=0.8m/s；
（2）滑塊滑到B點時的速度設為v₁，滑到小車上后與小車達到相同速度速度為v₂，小車停止后，滑塊運動到C點的速度為v₃；
滑塊從A到B的過程中：m₁gh=

1

2

m₁v₁²
滑塊在小車上發生相對運動的過程中：
m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
μm₁gL₁=

1

2

m₁v₁²-

1

2

（m₁+m₂）v₂²
小車停住后，滑塊繼續滑動到E點的過程中
-μm₁gL₂=

1

2

m₁v₃²-

1

2

m₁v₂²
-m₁g?2R=

1

2

m₁v_E²-

1

2

m₁v₃²
解得：v₂=2m/s；L₁=1.0m；L₂=0.1m
小車長度L=L₁+L₂=1.1m
小車獲得的最大動能為E_kmax=

1

2

m₂v₂²=1.0J．
答：（1）小滑塊m₂經過圓軌道的最高點E時的速度為0.8m/s；（2）小車長度為1.1m；小車獲得的最大動能為1.0J．

點評：本題過程較為復雜，在解題之前應認真審題，找出對應的過程，再分別根據機械能守恒、動量守恒及動能定理列式計算．