Question

10．如圖所示的“s”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動．彈射裝置將一個小球（小球的直徑略小于細圓管內徑）從a點沿水平地面向b點運動并進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出．已知小球與地面ab段間的動摩擦因數為μ，ab段長L，圓的半徑R，小球質量m，求：
（1）若小球經d處時，對軌道上臂有壓力，則它經過b處時的速度滿足什么條件？
（2）為使小球離開軌道d處后，不會再碰到軌道，則小球離開d出時的速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律與機械能守恒定律，即可求解；
（2）根據平拋運動規律處理的方法，運用牛頓第二定律與運動學公式綜合，借助于幾何關系，即可求解；根據動能定理，與牛頓第二定律，結合向心力表達式，即可求解．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律，小球經d點時
F_d+mg=m$\frac{{v}_p9vv5xb5^{2}}{R}$
F_d＞0
即v_d$＞\sqrt{gR}$
小球從b到d，由機械能守恒定律
$\frac{1}{2}$mv_d²+4mgR=$\frac{1}{2}$mv_b²
解得v_b$＞3\sqrt{gR}$
（2）假設恰好落到豎直位移3R處，則該點的速度方向豎直向下，這不符合平拋運動的規律．設小球離開d出時的速度為v_d時，在運動過程中與軌道恰好相碰，即小球的運動軌跡與圓相切．以d點為坐標原點建立如圖坐標系，由平拋運動規律得
x=v_at               
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$                        ②
由①②兩式得y=$\frac{g}{2{v}_p9vv5xb5^{2}}{x}^{2}$          ③
由解析幾何知識得x²+（y-3R）²=R² ④
聯立③④兩式得y²+（$\frac{2{v}_p9vv5xb5^{2}}{g}$-6R）y+8R²=0    ⑤
要使的拋物線與圓相切，則方程⑤的△判別式為零，即
△=（$\frac{2{v}_p9vv5xb5^{2}}{g}$-6R）²-32R²=0
解得：v_d=$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$
故小球離開軌道d處后，不再碰到軌道，小球離開d出時的速度至少為$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）若小球經d處時，對軌道上臂有壓力，則它經過b處時的速度滿足v_b$＞3\sqrt{gR}$
（2）為使小球離開軌道d處后，不會再碰到軌道，則小球離開d出時的速度至少為$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$

點評 本題考查動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律與運動學公式等規律的應用，知道向心力的表達式，同時注意受力分析的研究對象確定，本題同時還要注意數學規律的基本應用．