Question

3．如圖所示，堅直平面內的$\frac{3}{4}$圓弧形光滑軌道半徑為R=1.6m，A端與圓心0等高，B端 在O的正上方，與A右側相連的是高和寬都為L=0.3m的臺階，臺階有若干級，一個質量為 m=0.3kg的小球從A點正上方h處，由靜止釋放，自由下落至A點后進入圓形軌道，不計小球進入軌道時的能量損失，不計空氣阻力，小球恰能到達軌道的最高點B，求：
（1）釋放點距A點的豎直高度；
（2）若釋放點距A點的豎直高度H=3R，則小球在B點時對軌道的壓力是多大？小球會落在第幾級臺階上？設g=10m/s²．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到達軌道的最高點B，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過B點的速度．對小球從剛釋放到B點，由動能定理求釋放點距A點的豎直高度．
（2）對小球從剛釋放到B點，由動能定理求出小球通過B點的速度．在B點，由牛頓定律求小球在B點時對軌道的壓力．由平拋運動的規律和幾何關系分析小球會落在第幾級臺階上．

解答 解：（1）對小球從剛釋放到B點，由動能定理：
   mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
對小球在B點，由牛頓第二定律：
  mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v₁=4m/s，h=2.4m
（2）對小球從剛釋放到B點，由動能定理：
    mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
對小球在B點由牛頓第二定律：
   F_N+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 v₂=8m/s，F_N=9N
由牛頓第三定律可知，小球在B點對軌道的壓力大小是9N．
連接B、A兩點并延長，得一傾角為θ的斜面，小球從B點飛出后做平拋運動，設小球經過時間t落到斜面上，水平位移為x，豎直位移為y，落到斜面上時豎直分速度為v_y，由平拋運動規律，得：
   x=v₂t
   y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何關系有 y=xtanθ
  nL=x-R
聯立解得 t=1.6s，x=12.8m，n=37.3
所以小球打在第38級臺階上．      
答：
（1）釋放點距A點的豎直高度是2.4m；
（2）若釋放點距A點的豎直高度H=3R，則小球在B點時對軌道的壓力是9N，小球會落在第38級臺階上．

點評 本題考查了圓周運動、平拋運動與動能定理的基本運用，要知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，明確圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力，這是解決本題的關鍵．