Question

【題目】某玩具廠設計出如圖所示的玩具，軌道固定在高為H1＝0.5 m的水平臺面上，通過在A處壓縮彈簧把質量m＝0.01 kg的小球(可看作質點)從靜止彈出，先后經過直線軌道AC、半徑R1＝0.1 m的圓形軌道、長為L1＝0.5 m 的直線軌道CD、以及兩段半徑R2＝1 m的圓弧DE、GP，G、E兩點等高且兩圓弧對應的圓心角都為37°，所有軌道都平滑連接；小球從P點水平拋出后打到固定在Q點的鑼上，P、Q的水平距離L2＝1.2 m，鑼的半徑r＝ 0.3 m，圓心O離地高H2＝0.4 m。CD段的動摩擦因數為0.2，其余軌道光滑，N為在P點正下方的擋板，在一次測試中測出小球運動到B點時對內軌的作用力為0.064 N。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)

(1)求小球運動到B點時的速度大��；

(2)小球能否離開軌道，請說明理由；

(3)要使小球打到鑼上，求小球從A處彈出時彈簧對小球所做的功需滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1) v0＝0.6 m/s (2)h0<2R1且h0<R2(1－cos37°),小球不離開軌道 (3) 0.1 J≤W≤0.23 J

【解析】

(1)由牛頓第二定律得

mg－FN＝ ，

解得v0＝0.6 m/s。

(2)設小球不離開軌道，通過直線軌道CD后能上升的最大高度為h0，則

mg(2R1－h0)－μmgL1＝0－

h0＝0.118 m，h0<2R1且h0<R2(1－cos37°)

所以小球不離開軌道。

(3)鑼的下邊界與P點的高度差h1＝0.8 m，上邊界與P點的高度差h2＝0.2 m，如果小球從P點飛出后能打到鑼的上、下邊界，根據平拋運動知識

v＝

可得從P點飛出的速度3 m/s≤v≤6 m/s，而小球沿圓弧GP運動到P點的條件

mg≤

得v≥m/s，所以m/s≤v≤6 m/s，根據動能定理得

W－μmgL1－mg[2R2(1－cos 37°)]＝

0.1 J≤W≤0.23 J。