Question

（2007?海淀區模擬）磁流體動力發電機的原理如圖所示，一個水平放置的上下、前后封閉的橫截面為矩形的塑料管，其寬度為l，高度為h，管內充滿電阻率為ρ的某種導電流體（如水銀）．矩形塑料管的兩端接有渦輪機，由渦輪機提供動力使流體通過管道時具有恒定的水平向右的流速v₀．管道的前、后兩個側面上各有長為d的相互平行且正對的銅板M和N．實際流體的運動非常復雜，為簡化起見作如下假設：①垂直流動方向橫截面上各處流體的速度相同；②流體不可壓縮；③當N、N之間有電流通過時，電流只從M、N之間正對的區域內通過．
（1）若在兩個銅板M、N之間的區域加有豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場，則當流體以穩定的速度v₀流過時，兩銅板M、N之間將產生電勢差．求此電勢差的大小，并判斷M、N兩板哪個電勢較高；
（2）用電阻可忽略不計的導線將銅板M、N外側相連接（設電流只分布在M、N之間的長方體內），由于此時磁場對流體有力的作用，使流體的穩定速度變為v（v＜v₀），求磁場對流體的作用力；
（3）為使速度增加到原來的值v₀，渦輪機提供動力的功率必須增加，假設流體在流動過程中所受的阻力與它的流速成正比，試導出新增加功率的表達式．

Answer 1

分析：（1）流體通過管道時切割磁感線產生感應電動勢，根據法拉第電磁感應定律求出兩銅板間的電勢差．由右手定則判斷電勢高低．
（2）根據電阻定律求出兩個銅面之間區域的電阻R的表達式．結合安培力的大小公式，求出磁場對流體的作用力．
（3）功率的增加量等于壓力差功率的增加量，根據壓力差的變化求出功率增加量的表達式．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應定律，兩銅板間的電勢差  E=Blv₀
由右手定則可判斷出M板的電勢高
（2）用電阻可忽略不計的導線將銅板M、N外側相連接，即銅板由外側短路后，M、N兩板間的電動勢  E=Blv
短路電流  I=

E

R內

  R_內=ρ

l

hd

磁場對流體的作用力  F=BIl
解得：F=

vB2hld

ρ

方向與v方向相反（或水平向左）
（3）設流體在流動過程中所受的阻力與流速的比例系數為k，所以在外電路未短路時流體以穩定速度v₀流過，此時流體所受的阻力（即渦輪機所提供的動力） F₀=kv₀
此時渦輪機提供的功率  P₀=F₀v₀=kv₀²
外電路短路后，流體仍以穩定速度v₀流過時，設此時磁場對流體的作用力為F_磁，根據第（2）問的結果可知F_磁=

v0B2hld

ρ

此時渦輪機提供的動力 F_t=F₀+F_磁=kv₀+

v0B2hld

ρ

此時渦輪機提供的功率 P_t=Fv₀=kv₀²+

v 2 0 B2hld

ρ

所以新增加功率△P=P_t-P₀=

v 2 0 B2hld

ρ

答：
（1）電勢差為Blv₀，由右手定則可判斷出M板的電勢高．
（2）磁場對流體的作用力為

vB2hld

ρ

．
（3）增加功率的表達式為△P=

v 2 0 B2hld

ρ

．

點評：解決本題的關鍵掌握電阻定律、安培力大小和方向的判斷，難點在于通過平衡求出流體新的穩定速度v的表達式．