Question

（2011?中山市三模）如圖所示，凹槽的水平底面寬度s=0.3m，左側高度H=0.45m，右側高度h=0.25m．凹槽的左側豎直面與半徑R=0.2m的1/4光滑圓弧軌道相接，A和B分別是圓弧的端點，右側豎直面與水平面MN相接．小球P₁靜止從A點沿圓弧軌道滑下，與靜置于B點的小球P₂發生彈性碰撞．P₂的質量m=1kg，P₁的質量是P₂質量的k倍．已知重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力．
（1）求小球P₁從圓弧軌道滑至B點時的速度大小；
（2）若小球P₂碰撞后第一落點在M點，求碰撞后P₂的速度大小；
（3）設小球P₂的第一落點與凹槽左側豎直面水平距離為x，試求x的表達式．

Answer 1

分析：（1）在從A到B的過程中只有重力做功有動能定理可以求解；
（2）因為小球P₂從B點做平拋運動，在水平方向勻速運動，豎直方向自由落體運動，，有下降的高度可求出時間t，再有水平位移求出速度；
（3）當P₁與P₂碰撞時，根據動量定理與動能定理，可求出P₂的水平速度，因為小球P₂可以落在MN平臺上，也可以落在MN平臺左側，所以要分情況，
當P₂落在平臺上時，下降的高度為H-h，可求出下落時間，再根據水平方向勻速運動，求出位移，
當P₂落在凹槽底面時，下降的高度為H，可求出下落時間，再根據水平方向勻速運動，求出位移，
當P₂與在平臺MN左側相撞時，水平位移就為s．

解答：解：（1）P₁從A點滑至B點過程中，根據動能定理有：

1

2

kmv2=kmgR
解得在B點的速度 v=

2gR

=2m/s
（2）小球P₂從B點到M點，根據平拋運動規律有：H-h=

1

2

gt2得
t=

2(H-h) g

=0.2s
由d=v_Mt解得小球P₁從C點拋出時的速度vM=

3

4

v=1.5m/s
（3）根據動量守恒定律有：kmv=kmv₁+mv_{2 ①}
根據能量守恒有：

1

2

kmv2=

1

2

km

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

     ②
有①②解得：v2=

2k

k+1

v
①若P₂落在MN水平面，則v₂≥v_M解得k≥

3

5

即當k≥

3

5

時，x=v2t=

2k

k+1

v?t=

4k

5(k+1)

②當P₂落在凹槽底面時，落地時間t′=

2H g

=0.3s
最大拋出速度v′=

s

t′

=

1

2

v=1m/s
所以若P₂落在凹槽底面時，則v₂≤v'，解得k≤

1

3

即當0＜k≤

1

3

時，x=v2t=

2k

k+1

v?t′=

6k

5(k+1)

③當

1

3

＜k＜

3

5

時，P₂落在右側豎直面上，故x=s=0.3m
答：（1）2m/s   （2）1.5m/s   （3）①x=

4k

5(k+1)

，②x=

6k

5(k+1)

，③x=0.3m

點評：本題主要是分清小球的運動過程，及在豎直方向與水平方向上的運動性質，利用動能定理，動量定理及運動學公式解決問題