Question

有一傾角為的斜面，其底端固定一檔板，另有三個木塊A、B、C，它們的質量分別為m_A=m_B=m，m_C=3m，它們與斜面間的動摩擦因數都相同。其中木塊A和一輕質彈簧連接，放于斜面上，并通過輕彈簧與檔板M相連，如圖所示。開始時，木塊A靜止在P點，此時彈簧處于原長，木塊B從Q點以初速度v₀沿斜面向下運動，P、Q間的距離為，已知木塊B在下滑過程中做勻速直線運動，與木塊A碰撞后立刻一起沿斜面向下運動，但不粘連，它們到達一個最低點后向上運動，木塊B向上運動再恰好能回到Q點。若將木塊B換成木塊C讓木塊C從Q點以初速度v₀沿斜面向下運動，開始時木塊A仍靜止于P點，經歷同樣的過程，最后木塊C停在斜面上的R點(圖中未畫出)。求：

 (1)A、B一起開始壓縮彈簧時速度v₁；

(2)A、B壓縮彈簧的最大長度；

(3)P、R間的距離的大小。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

(1)木塊B下滑做勻速運動，有

 …………………………………………………………………………(3分)

B和A碰撞后，設速度為，根據動量守恒定律得

……………………………………………………………………………………(3分)

解得 …………………………………………………………………………………(1分)

(2)設兩木塊向下壓縮彈簧的最大長度為x，兩木塊被彈簧彈回到P點時的速度為，

根據動能定理得

……………………………………………………………(3分)

兩木塊在P點處分開后，木塊B上滑到Q點的過程中，根據動能定理得

…………………………………………………………(3分)

解得…………………………………………………………………………(1分)

(3)木塊C與A碰撞后速度為，根據動量守恒定律得……………(1分)

解得 ……………………………………………………………………………(1分)

設木塊C與A壓縮的最大長度為，兩木塊被彈簧彈回到P 點時的速度為，根據動能定理得 ……………………………………………(1分)

木塊C與A在P點處分開后，木塊C上滑到R的過程中，根據動能定理得

…………………………………………………(1分)

在木塊壓縮彈簧的過程中，重力對木塊所做的功與摩擦力對木塊所做的功大小相等，

………………………………………………………………………………………………(1分)

木塊B和A壓縮彈簧的初動能木塊C與A壓縮彈簧的初動能

，即……………………………………………………………(1分)

因此，彈簧先后兩次的最大壓縮量相等，即 ………………………………………(1分)

綜上可得 …………………………………………………………………(1分)