Question

兩根足夠長的光滑平行導軌與水平面的夾角θ=30°，寬度L=0.2m，導軌間有與導軌平面垂直的勻強磁場，磁感應強度B=0.5T，如圖所示，在導軌間接有R=0.2Ω的電阻，一質量m=0.01kg、電阻不計的導體棒ab，與導軌垂直放置，無初速釋放后與導軌保持良好接觸并能沿導軌向下滑動．（g取10m/s²）
（1）求ab棒的最大速度．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，其他條件不變，試判定棒的運動性質．若電容C=1F，求棒釋放后4s內系統損失的機械能．

Answer 1

（1）設某時刻ab的速度為v
則感應電動勢E=BLv，電流強度  I=

E

R

=

BLv

R

棒所受安培力

F

B

=BIL=

B2L2v

R

則由牛頓第二定律得 mgsinθ-F_B=ma
代入得 mgsinθ-

B2L2v

R

=ma
當a=0時，有  vm=

mgRsinθ

B2L2

=1.0m/s
（2）設t時刻棒的加速度為a，速度為v，產生的電動勢為E，（t+△t）（△t→0）時刻，棒的速度為（v+△v），電動勢為E′，則
   E=BLv       E′=BL（v+△v）
△t內流過棒截面的電荷量△q=C（E'-E）=CBL△v
電流強度I=

△q

△t

=

CBL△v

△t

棒受的安培力FB=BIL=

CB2L2△v

△t

=CB2L2a
由牛頓第二定律，t時刻對棒有   mgsinθ-F_B=ma
即 mgsinθ-CB²L²a=ma
故  a=

mgRsinθ

CB2L2+m

=2.5m/s2
故棒做勻加速直線運動．
當t=4s時，v=at=10m/s      x=

1

2

at2=20m
由能量守恒：△E=mgxsinθ-

1

2

mv2=0.5J
答：
（1）ab棒的最大速度為1m/s．
（2）若將電阻R換成平行板電容器，棒釋放后4s內系統損失的機械能為0.5J．