Question

【題目】如圖的環狀軌道處于豎直面內，它由半徑分別為R和2R的兩個半圓軌道、半徑為R的兩個四分之一圓軌道和兩根長度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成．以水平線MN和PQ為界，空間分為三個區域，區域Ⅰ和區域Ⅲ有磁感應強度為B的水平向里的勻強磁場，區域Ⅰ和Ⅱ有豎直向上的勻強電場．一質量為m、電荷量為+q的帶電小環穿在軌道內，它與兩根直軌道間的動摩擦因數為μ（0＜μ＜1），而軌道的圓弧形部分均光滑．將小環在較長的直軌道CD下端的C點無初速釋放（已知區域Ⅰ和Ⅱ的勻強電場場強大小為E= ，重力加速度為g），

求：
（1）小環在第一次通過軌道最高點A時速度vA的大小；
（2）小環在第一次通過軌道最高點A時受到軌道壓力？
（3）若從C點釋放小環的同時，在區域Ⅱ再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強電場，其場強大小為E′= ，則小環在兩根直軌道上通過的總路程多大？

Answer 1

【答案】
（1）解：從C到A，洛倫茲力不做功，小環對直軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．由動能定理，有：

qE5R﹣mg5R= 可得：vA=

答：小環在第一次通過軌道最高點A時速度vA的大小= ；

（2）解：過A點時，研究小環，由受力分析和牛頓第二定律，有：

FN+mg﹣qvAB﹣qE=m 解得 FN=11mg+qB 方向向下

答：小環在第一次通過軌道最高點A時受到軌道壓力為11mg+qB ，方向向下．

（3）解：由于0＜μ＜1，小環必能通過A點，以后有三種可能：

①有可能第一次過了A點后，恰好停在K點，則在直軌道上通過的總路程為：S總=4R

②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，對整個運動過程，由動能定理，有：qE3R﹣mg3R﹣μqE′S總=0 得：s總=

③還可能最終在D或D′點速度為零（即在D與D′點之間振動），由動能定理，有：

qE4R﹣mg4R﹣μqE′S總=0得：s總=

答：①有可能第一次過了A點后，恰好停在K點，S總=4R；

②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，s總=

③還可能最終在D或D′點速度為零（即在D與D′點之間振動），s總= ．

【解析】（1）小環從C到A，洛倫茲力不做功，重力做負功，電場力做正功．小環對直軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．根據動能定理求解．
（2）小環在第一次通過軌道最高點A時，受到軌道的彈力，重力，洛倫茲力，電場力，四個力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道的壓力．
（3）因為μ＜1，小環在直桿受到的重力與電場力的合力向上，大于滑動摩擦力μmg，則小環必能通過A點．分三種討論研究：①小環恰好停在K點，②有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，③在D與D′點之間振動，小環在D或D′點速度為零．滑動摩擦力做功與路程有關，根據動能定理求解路程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解向心力的相關知識，掌握向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力，以及對動能定理的綜合應用的理解，了解應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷．