Question

“勇氣”號空間探測器在著陸前先進入預定軌道環繞火星做圓軌道運動．已知火星半徑為R，探測器在此圓軌道上繞行n圈飛行的時間為t，火星表面的重力加速度值為g₀．
（1）導出探測器在上述圓軌道上運動時離火星表面高度h的公式（用g₀、R、n和t表示）
（2）探測器在著陸前先要進行變軌．若在預定地點A處啟動探測器上的噴氣推進器，使探測器從圓軌道I進入橢圓軌道Ⅱ（如圖所示），則推進器應該向前噴氣或向后噴氣．

Answer 1

分析：（1）根據此圓軌道上繞行n圈飛行的時間求出圓周運動的周期，根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出探測器離火星表面高度h的大小．
（2）當萬有引力等于所需的向心力，探測器做圓周運動，當萬有引力大于所需的向心力，探測器做近心運動，當萬有引力小于所需的向心力，探測器做離心運動．

解答：解：（1）依題意，可得：T=

t

n

     
由牛頓第二定律，得：

GMm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

．
忽略火星自轉影響，有：

GMm0

R2

=m0g0
解得：h=

3	g0R2t2 4π2n2

-R．
（2）探測器從圓軌道I進入橢圓軌道Ⅱ，需減速，使得萬有引力大于向心力，做近心運動，所以需向前噴氣．
答：（1）測器在上述圓軌道上運動時離火星表面高度h=

3	g0R2t2 4π2n2

-R．
（2）向前噴氣．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力這兩個理論，并能靈活運用．