Question

我國于1984年4月8日成功發射了一顆同步軌道（也叫靜止軌道）通信衛星，8天后定位于東經125°的赤道上空，成為少數幾個能獨立發射同步衛星的國家之一.已知地球表面的重力加速度g=9.8 km/s，地球半徑R=6 400 km，月球公轉周期為T′=27 d，月球軌道半徑R′≈60R，試求地球同步衛星距地面的高度和運行速度.

Answer 1

解析：設地球質量為M，同步衛星質量為m，離地高度為h，其公轉周期與地球自轉周期相同為T=1 d=86 400 s，由于地球對同步衛星的萬有引力提供了衛星繞地球做勻速圓周運動的向心力，因此有：

所以①

根據地面物體所受重力近似等于所受地球的萬有引力，有：GM=gR²②

由①②式得同步衛星離地高度：③

將g=9.8 m/s²，R=6.4×10⁶ m，T=8.64×10⁴ s

代入③式得：h≈3.6×10⁷ m④

同步衛星的運行速度為：⑤

將有關數據代入⑤式解得：v≈3.1 km/s.

方法歸納 本題中根據地面或地面附近物體所受重力近似等于萬有引力得出的導出式GM=gR²（通常稱為“黃金代換”），在今后關于人造衛星的計算中，會經常被用到，應引起關注.

巧妙變式 本題還可以應用開普勒定律求離地高度：因為月球和同步衛星都圍繞地球轉動，所以有：

因為R′≈60R，T=1 d，T′≈27 d，

所以，

.