Question

如圖所示，一個

3

4

圓弧形光滑細圓管軌道ABC，放置在豎直平面內，軌道半徑為R，在A 點與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R、厚度不計的墊子，左端M正好位于A點．將一個質量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力．
（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經過C點時對管的作用力大小和方向如何？
（2）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，小球從釋放到進入光滑細圓管的時間和從C點射出打到墊子的M端所經歷的時間之比是多少？
（3）欲使小球能通過C點落到墊子上，小球離A點的最大高度是多少？

Answer 1

分析：（1）離開C點小球做平拋運動，由平拋運動的規律可以求得C點速度的大小．根據牛頓第二定律求得彈力；
（2）小球從最高點到C點的過程中機械能守恒，根據機械能使守恒定律求解高度H，再根據自由落體運動求解時間，從而求出時間比；
（3）小球下降的高度最高時，小球運動的水平位移為4R，打到N點根據平拋運動求得速度．根據機械能守恒定律求解．

解答：解：（1）小球離開C點做平拋運動，落到M點時水平位移為R，豎直下落高度為R，根據運動學公式可得：
R=

1

2

gt2
運動時間t=

2R g

從C點射出的速度為
v₁=

R

t

=

gR 2

設小球以v₁經過C點受到管子對它的作用力為N，由向心力公式可得
mg-N=m

v12

R

N=mg-m

v12

R

=

mg

2

由牛頓第三定律知，小球對管子作用力大小為

mg

2

，方向豎直向下． 
（2）小球從最高點到C點的過程中機械能守恒，則
mg（H-R）=

1

2

mv12
解得：H=

5

4

R
小球從H高處自由下落，則H=

1

2

gt′2
解得：t′=

5R 2g

則

t′

t

=

5R 2g

2R g

=

5

2

（3）小球下降的高度最高時，小球運動的水平位移為4R，打到N點．
設能夠落到N點的水平速度為v₂，根據平拋運動求得：
v2=

4R

t

=

8gR

設小球下降的最大高度為H，根據機械能守恒定律可知，
mg（H-R）=

1

2

mv22
解得：H=

v22

2g

+R=5R
答：（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經過C點時對管的作用力大小為

mg

2

，方向豎直向下；
（2）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，小球從釋放到進入光滑細圓管的時間和從C點射出打到墊子的M端所經歷的時間之比是

5

2

；
（3）欲使小球能通過C點落到墊子上，小球離A點的最大高度是5R

點評：知道物體的運動過程，根據物體的不同的運動狀態，采用相應的物理規律求解即可．