Question

有一個帶正電的小球，質(zhì)量為m、電量為q，靜止在固定的絕緣支架上．現(xiàn)設(shè)法給小球一個瞬時的初速度υ₀使小求水平飛出，飛出時小球的電量沒有改變．同一豎直面內(nèi)，有一個豎直固定放置的圓環(huán)（圓環(huán)平面保持水平），環(huán)的直徑略大于小球直徑，如圖所示．要使小球能準(zhǔn)確進(jìn)入圓環(huán)，可在空間分布勻強(qiáng)電場或勻強(qiáng)磁場（勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場可單獨存在，也可同時存在），請設(shè)計兩種分布方式，并求出：
（1）相應(yīng)的電場強(qiáng)度E或磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（2）相應(yīng)的小球到圓環(huán)的時間t．（若加勻強(qiáng)電場，則勻強(qiáng)電場限制在豎直面內(nèi)；若加勻強(qiáng)磁場，則勻強(qiáng)磁場限制在垂直紙面情況．已知υ₀＞

2gs

，小球受重力不能忽略）

Answer 1

分析：（1）方案1：加豎直向下方向分布的勻強(qiáng)電場E，可知小球做類平拋運動，水平做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．要使小球能準(zhǔn)確進(jìn)入圓環(huán)，小球的水平位移大小為2S，豎直位移大小為S，由牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求出E；方案2：加豎直向上勻強(qiáng)電場，在與圓環(huán)中心相距S處加垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，合使電場力與重力平衡，使小球做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系得到半徑，即可由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）電場中，由運動學(xué)公式求解時間；磁場中，根據(jù)軌跡的圓心角，即可求出時間與周期的關(guān)系，得到時間．

解答：解：方案1：
在豎直向下方向分布勻強(qiáng)電場E，則小球做類平拋運動，水平做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．則有
   水平方向：2S=v₀t  ①
   豎直方向：S=

1

2

ayt2 ②，mg+qE=ma ③
解得 t=

2S

v0

，E=

m( v 2 0 -2gS)

2Sq

方案2：
加豎直向上勻強(qiáng)電場，在與圓環(huán)中心相距S處加垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場（如圖所示）
豎直方向           mg=qE
解得 E=

mg

q

帶電小球從運動開始到進(jìn)入磁場：t₁=

S

v0

進(jìn)入磁場后帶電小球在洛侖茲力作用下做圓周運動，由幾何知識知，軌跡半徑為R=S
則  qv₀B=m

v 2 0

R

得：B=

mv0

qS

    t₂=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πS

2v0

小球到達(dá)圓環(huán)總時間t=t₁+t₂=

S

v0

（1+

π

2

）    
答：方案1：在豎直向下方向分布勻強(qiáng)電場E，E大小為

m( v 2 0 -2gS)

2Sq

，小球到圓環(huán)的時間t是

2S

v0

；方案2：加豎直向上勻強(qiáng)電場，在與圓環(huán)中心相距S處加垂 直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，小球到達(dá)圓環(huán)總時間是

S

v0

（1+

π

2

）．

點評：本題是開放性的題目，只要答題方案合理就行，答案不是唯一的．本題是帶電體在電場中類平拋、磁場中勻速圓周運動的問題，運用運動的分解法處理類平拋運動，畫軌跡處理圓周運動問題，都是常用的方法和思路．