Question

如圖14所示，有一內壁光滑的試管裝有質量為1 g的小球，試管的開口端封閉后安裝在水平軸O上，轉動軸到管底小球的距離為5 cm，讓試管在豎直平面內做勻速轉動。問：

(1)轉動軸達某一轉速時，試管底部受到小球的壓力的最大值為最小值的3倍，此時角速度多大？                                                   

(2)當轉速ω＝10 rad/s時，管底對小球的作用力的最大值和最小值各是多少？(g取10 m/s²)

圖14

Answer 1

解析：(1)轉至最低點時，小球對管底壓力最大；轉至最高點時，小球對管底壓力最小，最低點時管底對小球的支持力F₁應是最高點時管底對小球支持力F₂的3倍，即

F₁＝3F₂①

根據牛頓第二定律有

最低點：F₁－mg＝mrω²②

最高點：F₂＋mg＝mrω²③

由①②③得ω＝ ＝  rad/s＝20 rad/s④

(2)在最高點時，設小球不掉下來的最小角速度為ω₀，

則mg＝mrω₀²

ω₀＝ ＝  rad/s＝14.1 rad/s

因為ω＝10 rad/s<ω₀＝14.1 rad/s，故管底轉到最高點時，小球已離開管底，因此管底對小球作用力的最小值為

F′＝0

當轉到最低點時，管底對小球的作用力最大為F₁′，

根據牛頓第二定律知

F₁′－mg＝mrω²，則F₁′＝mg＋mrω²＝1.5×10^－2 N。

答案：(1)20 rad/s　(2)1.5×10^－2 N　0