Question

如圖所示，固定斜面的傾角θ=30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數為μ=

3

4

，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點．用一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側繩子與斜面平行，A的質量為4kg，B的質量為2kg，初始時物體A到C點的距離為L=1m．現給A、B一初速度v₀=3m/s使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點．已知重力加速度為g=10m/s²，不計空氣阻力，整個過程中，輕繩始終處于伸直狀態，求此過程中：
（1）物體A沿斜面向下運動時的加速度大小；
（2）物體A向下運動剛到C點時的速度大小；
（3）彈簧的最大壓縮量和彈簧中的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）物體A沿斜面向下運動時，B向上運動，兩者加速度大小相等，以AB整體為研究對象，根據牛頓第二定律求出物體A沿斜面向下運動時的加速度大小．
（2）由公式v²-

v

2 0

=2aL可求出物體A向下運動剛到C點時的速度大小．
（3）由題，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點，整個過程中，彈簧的彈力和重力對A做功均為零，A向下運動的最大位移大小等于彈簧的最大壓縮量，根據動能定理求解彈簧的最大壓縮量．彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，對系統根據能量關系求解彈簧中的最大彈性勢能．

解答：解：（1）物體A沿斜面向下運動時，B向上做運動，兩者加速度大小相等，以AB整體為研究對象，根據牛頓第二定律得
   a=

mAgsinθ-μmAgcosθ-mBg

mA+mB

代入解得  a=-2.5m/s²．
（2）由v²-

v

2 0

=2aL得 v=

v 2 0 -2aL

=2m/s
（3）設彈簧的最大壓縮量為x．物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點，整個過程中，彈簧的彈力和重力對A做功均為零．設A的質量為2m，B的質量為m，根據動能定理得
-μ?2mgcosθ?2x=0-

1

2

?3mv2
得 x=0.4m
彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，對系統根據能量關系有
   E_p+mgx=2mgxsinθ
因為mgx=2mgxsin θ
所以E_p=fx=

3

4

mv²-

3

2

μmgL=6J
答：（1）物體A沿斜面向下運動時的加速度大小是2.5m/s²；
（2）物體A向下運動剛到C點時的速度大小是2m/s；
（3）彈簧的最大壓縮量是0.4m，彈簧中的最大彈性勢能是6J．

點評：本題是連接體問題，抓住兩物體的加速度大小相等，運用整體法求出加速度．根據動能定理求出彈簧的最大壓縮量．