Question

（2008?湛江二模）已知萬有引力常量為G，地球半徑為R，同步衛星距地面的高度為h，地球的自轉周期T，地球表面的重力加速度g．某同學根據以上條件，提出一種估算地球赤道表面的物體隨地球自轉的線速度大小的方法：地球赤道表面的物體隨地球作圓周運動，由牛頓運動定律有

GMm

R2

=m

v2

R

又因為地球上的物體的重力約等于萬有引力，有mg=

GMm

R2

由以上兩式得：v=

gR

（1）請判斷上面的結果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結果．
（2）由以上已知條件還可以估算出哪些物理量？（請估算兩個物理量，并寫出估算過程）．

Answer 1

分析：1、地球赤道表面的物體隨地球做圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．
2、研究同步衛星繞地球做勻速圓周運動，要清楚物理公式中各個物理量的含義，其中向心力公式里的r為軌道半徑，即同步衛星到地心的距離r=R+h．
根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體地球的質量．也可以求解同步衛星的運行速度．

解答：解：（1）以上結果是不正確的．因為地球赤道表面的物體隨地球做圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．
正確的解答如下：
地球赤道表面的物體隨地球自傳的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

（2）①可估算地球質量M．設同步衛星的質量為m，軌道半徑為r=R+h，周期等于地球自傳周期T，由牛頓第二定律有
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
所以M=

4π2(R+h)3

GT2

．
或者：對地面上的物體有mg=G

Mm

R2

      所以地球質量為M=

R2g

G

②可以估算同步衛星運轉時的線速度v′的大小，
由①可知，地球同步衛星的周期為T，軌道半徑為r=R+h，
所以v′=

2π(R+h)

T

或者：萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m

v′2

(R+h)

      對地面上的物體有mg=G

Mm

R2

      所以得v′=R

g R+h

答：（1）因為地球赤道表面的物體隨地球做圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．
正確的解答應為：地球赤道表面的物體隨地球自傳的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

．
（2）由以上已知條件還可以估算出地球的質量和同步衛星的線速度．推導過程如上面所述．

點評：在對物理規律和公式理解和應用的同時，要知道公式中各個物理量的準確含義．向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．