Question

如圖所示半徑為R、r（R＞r）甲、乙兩圓形軌道安置在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條水平軌道（CD）相連，如小球從離地3R的高處A點由靜止釋放，可以滑過甲軌道，經過CD段又滑上乙軌道后離開兩圓形軌道，小球與CD段間的動摩擦因數為μ，其余各段均光滑．
（1）求小球經過甲圓形軌道的最高點時小球的速度？
（2）為避免出現小球脫離圓形軌道而發生撞軌現象．試設計CD段的長度．

Answer 1

分析：（1）小球從A運動甲圓形軌道過程中只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律求出小球經過甲圓形軌道的最高點時的速度．
（2）為避免出現小球脫離圓形軌道而發生撞軌現象，一種可能是越過乙軌道的最高點，根據乙軌道最高點臨界速度求出CD的臨界值．一種可能越過乙軌道的最低點，但是越不過乙軌道圓心的等高處，根據動能定理求出CD的范圍．

解答：解：（1）設小球能通過甲軌道最高點時速度為v₁．
由機械能守恒定律得：mgh=mg.2R+

1

2

mv12   
解得v1=

2gR

 
故小球經過甲圓形軌道的最高點時的速度為

2gR

．
（2）小球在甲軌道上做圓周運動通過最高點的最小速度為 vmin=

gR

∵v1=

2gR

＞

gR

∴小球能通過甲軌道而不撞軌
設CD的長度為x，小球在乙軌道最高點的最小速度為v2=

gr

小球要通過乙軌道最高點，根據動能定理得：mg(3R-2r)-μmgx=

1

2

mv22 解得：x=

6R-5r

2μ

所以x≤

6R-5r

2μ

．
小球到乙軌圓心等高處之前再返回，根據動能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0   解得：x=

3R-r

μ

．
小球到乙軌的最低點速度恰好速度為0，根據動能定理得：mg3R-μmgx=0    解得：x=

3R

μ

所以

3R-r

μ

≤x＜

3R

μ

故CD的長度x≤

6R-5r

2μ

或

3R-r

μ

≤x＜

3R

μ

．

點評：本題綜合運用了動能定理和機械能守恒定律，運用兩規律解題時要合適地選擇研究的過程．為避免出現小球脫離圓形軌道而發生撞軌現象，一種可能是越過乙軌道的最高點，另一種可能越過乙軌道的最低點，但是越不過乙軌道圓心的等高處．